Question

Determine x E |R, afim de que a sequência ( 5x+1,x+1,x-2) seja uma PG

Answer 1

Olá, boa tarde.

A PG do tipo: $PG\: (a, b, c)$possui uma propriedade que fala:

"O quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos:

Algebricamente isso significa que:

$\boxed{b {}^{2} = a.n}$

Vamos identificar quem é "a", "b" e "c" em nossa PG.

$\begin{cases}a = 5x + 1 \\ b = x + 1 \\ c = x - 2 \end{cases}$

Substituindo na expressãozinha:

$(x + 1) {}^{2} = (5x + 1).(x - 2) \\ (x + 1).(x + 1) = (5x + 1).(x - 2) \\ x. x + x.1 + x.1 + 1.1 = 5x.x - 5x.2 + 1.x - 2.1 \\ x {}^{2} + 2x + 1 = 5x {}^{2} - 10x + x - 2 \\ x {}^{2} + 2x + 1 = 5x {}^{2} - 9x - 2 \\ 5x {}^{2} - x {}^{2} - 9x - 2x - 1 - 2 = 0 \\ \bigstar4 x {}^{2} - 11x - 3 = 0 \bigstar$

Vamos resolver essa equação através de Delta e Bháskara.

Primeiro vamos encontrar os coeficientes.

I) Coeficientes:

$\begin{cases} a = 4 \\ b = - 11 \\ c = - 3\end{cases}$

II) Bháskara:

$\boxed{x = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c} }{2.a} } \\ \\ x = \frac{ - ( -11) \pm \sqrt{( - 11) {}^{2} - 4.4.( - 3)} }{2.4} \\ \\ x = \frac{ 11 \pm \sqrt{121 + 48} }{8} \\ \\ x = \frac{11 \pm \sqrt{169} }{8} \\ \\ x = \frac{11 \pm13}{8} \\ \\ x_1 = \frac{11 + 13}{8} \\ x_1 = \frac{24}{8} \\ \green{\boxed{x_1 = 3}} \\ \\ x_2 = \frac{11 - 13}{8} \\ x_2 = \frac{ - 2}{8} \\ \green{\boxed{ x_2 = - \frac{1}{4} }}$

Esses são os possíveis valores de "x".

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️