Question

Determine vá solução equação diferencial ordinária exata?
Conforme enunciado abaixo da figura

Answer 1

Sejam $M, N: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ as funções definidas por:

$M(x,y) = 2xy^2 + 2y \quad\textrm{e}\quad N(x,y) = 2x^2y + 2x.$

Uma vez que é dito que a equação diferencial é exata, sabemos que existe um potencial $\Phi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que:

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial x}(x,y) = M(x,y) \quad\textrm{e}\quad \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}(x,y) = N(x,y).$

Integrando $M$ em ordem a $x$, obtemos:

$\displaystyle\Phi(x,y) = \int M(x,y) \textrm{ d}x = \int\left(2xy^2 + 2y\right)\textrm{d}x = x^2y^2 + 2xy + g(y),$

onde $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é uma função real diferenciável da variável $y$. Derivando agora $\Phi$ em ordem a $y$, deveremos obter $N$, pelo que podemos, assim, determinar $g$:

$\displaystyle\dfrac{\partial \Phi}{\partial y}(x,y) = N(x,y) \iff \dfrac{\partial}{\partial y}\left[x^2y^2 + 2xy + g(y)\right] = 2x^2y + 2x \iff\\\\\iff 2x^2y + 2x + g'(y) = 2x^2y + 2x \iff g'(y) = 0 \iff g(y) = k,$

com $k\in\mathbb{R}$. Então, conclui-se que o potencial requerido é:

$\Phi(x,y) = x^2y^2 + 2xy + k.$

Para cada solução $y$, o potencial é constante, ou seja:

$\Phi(x,y) = C \iff x^2y^2 + 2xy + k = C,$

com $C\in\mathbb{R}$. Definindo agora uma constante $c = C - k \in \mathbb{R}$, temos que a solução deverá ser dada implicitamente pela equação:

$x^2y^2 + 2xy = c.$