Question

Determine um vetor w, tal que ||w|| = $\sqrt{2}$ e w seja ortagonal aos vetores
u = (1,0,1) e v = (0,1,-1)

Answer 1

Vamos supor que o vetor w que queremos tenha coordenadas:

w = (a, b, c)

Se ||w|| = $\sqrt{2}$, podemos concluir que:

$\sqrt{2}$ = $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Logo: a² + b² + c² = 2 (i)

Considerando dois vetores u e v, por produto escalar: u.v = |u|.|v|.cosα

Sendo α o ângulo esses vetores.

Como w será ortogonal ao u e ao v, saberemos que o cosα, nesse caso, será zero (α = 90°).

Portanto:

u.w = 0 e v.w = 0

Assim:

(a, b, c).(1, 0, 1) = a + c = 0

(a, b, c).(0, 1, -1) = b - c = 0

Dessa relações, podemos obter que:

a = - c

b = c

Desas maneira, o vetor w que queremos, é: w = (a, b, c) = (- c, c, c)

Substituindo na equação (i):

a² + b² + c² = 2

(-c)² + c² + c² = 2

3c² = 2

c = +/- $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

c = +/- $\frac{\sqrt{2}.\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}$

c = +/- $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Dessa maneira, temos dois vetores possíveis, um para c =$\frac{\sqrt{6}}{3}$ e outro para c = - $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Qualquer um desses pode ser apresentado como resposta para essa questão:

w1 = (- $\frac{\sqrt{6}}{3}$, $\frac{\sqrt{6}}{3}$, $\frac{\sqrt{6}}{3}$)

w2 = ( $\frac{\sqrt{6}}{3}$, - $\frac{\sqrt{6}}{3}$, - $\frac{\sqrt{6}}{3}$)

Espero ter ajudado. :)

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