Determine um valor de c de modo que a função seja contínua em x=0.
f(x) = { cxcot(x) x<0
____{ 5c²−3 x≥0
a. 1÷2
b. 1÷15(1−√61)
c. −2
d. 1÷2(5−√13)
e. 1÷10(1−√61)
Soluções para a tarefa
Não sei vem como vamos fazer isso mas vamos tentar.
Ela é uma função Piece-wise.
Na verdade, f(x) já é contínua em x = 0, veja, quando x = 0, f(x) = f(0) = 5c² - 3, e uma vez que 5c² - 3 existe para qualquer c, f(x) é contínua em x = 0.
Acho que o que podemos fazer é fazer com que f(x) não tenha uma singularidade em x = 0. Assim ela vai poder se tornar diferenciável em x = 0 (eu acho).
Vejamos, o limite de quando x → 0 pela esquerda de f(x) é dado por:
lim(x → 0-) f(x)
= lim(x → 0-) cxcot(x)
= c • lim(x → 0-) (xcos x)/(sin x)
= c • lim(x → 0-) = (cos x - xsin x)/(cos x)
= c • (cos 0 - 0 • sin 0)/(cos 0)
= c • (1 - 0)/(1)
= c.
Assim, sendo 5c² - 3 = c,
5c² - c - 3 = 0
c = (1 ± √61)/10.
Se considerarmos que a concavidade central de f(x) está voltada para cima, temos o maior valor de c. Se considerarmos que está voltada para baixo, temos, portanto:
c = 1÷10(1-√61).
Bons estudos, ma dear.