Question

Determine um ponto do eixo das ordenadas que seja equidistante de P( 3, -4), e do eixo das abscissas.

Answer 1

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Determinar um ponto $\mathsf{Q(0,\,a)}$ do eixo das ordenadas (eixo y), que seja equidistante do ponto $\mathsf{P(3,\,-4)}$ e do eixo das abscissas (eixo x).


•   Distância entre $\mathsf{Q}$ e o eixo x:

Como $\mathsf{Q(0,\,a)}$ é um ponto que está sobre o eixo y, a distância deste ponto até o eixo x é simplesmente

$\mathsf{d=|a|\qquad\quad(i)}$


•   Distância entre $\mathsf{Q}$ e $\mathsf{P}:$

$\mathsf{d=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{(3-0)^2+(-4-a)^2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{3^2+(16+8a+a^2)}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{9+16+8a+a^2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{25+8a+a^2}\qquad\quad(ii)}$


Como queremos que seja equidistantes, igualamos $\mathsf{(i)}$ e $\mathsf{(ii)}:$

$\mathsf{|a|=\sqrt{25+8a+a^2}}\\\\ \mathsf{\sqrt{a^2}=\sqrt{25+8a+a^2}}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! a^2=25+8a+\diagup\!\!\!\! a^2}\\\\ \mathsf{0=25+8a}\\\\ \mathsf{-25=8a}$

$\mathsf{a=-\,\dfrac{25}{8}\qquad\quad\checkmark}$


O ponto procurado é $\mathsf{Q\bigg(0,\,-\,\dfrac{25}{8}\bigg).}$


Bons estudos! :-)


Tags:   ponto equidistante eixo x abscissa ordenada coordenada distância geometria analítica