Question

Determine ⃗u ortogonal a (−3, 0, 1) tal que ⃗u · (1, 4, 5) = 24 e ⃗u · (−1, 1, 0) = 1.​

Answer 1

O vetor procurado é u = (1, 2, 3).

O que são vetores?

Vetores são ferramentas geométricas que fornecem a ideia de movimento e tem as seguintes características:

• módulo;

• direção;

• sentido.

O que é produto escalar?

É uma operação matemática entre dois vetores cujo resultado é um número. Consiste em multiplicar as componentes de um vetor pelos correspondentes do outro vetor e somar o resultado.

Solução:

1. Vamos pegar o vetor u e identificar suas componentes assim:

$\vec{u}=(x,y,z)$

2. Como o vetor u é ortogonal ao vetor (-3, 0, 1) então o produto escalar entre eles deve ser nulo:

$\vec{u}\cdot (-3,0,1)=0\\\\\\(x,y,z)\cdot (-3,0,1)=0\\\\\\\therefore \boxed{-3x +z=0} \quad (1)$

Agora vamos calcular os demais produtos escalares:

3.

$\vec{u}\cdot (1,4,5)=24\\\\\\(x,y,z)\cdot(1,4,5)=24\\\\\\\therefore \boxed{x+4y+5z=24}\quad (2)$

4.

$\vec{u}\cdot (-1,1,0)=1\\\\\\(x,y,z)\cdot(-1,1,0)=1\\\\\\\therefore \boxed{-x+y=1}\quad (3)$

5. Logo, temos o seguinte sistema linear:

$\begin{cases} x+4y+5z=24 & \\ -x+y=1 & \\ -3x+z=0 \end{cases}$

Vamos resolver o sistema pelo método de Gauss-Jordan. A ideia aqui é fazer o escalonamento da matriz dos coeficientes do sistema; assim:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&4&5&24\\-1&1&0&1\\-3&0&1&0\end{array}\right]$

6. Some a primeira com a segunda linha:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&4&5&24\\0&5&5&25\\-3&0&1&0\end{array}\right]$

7. Multiplique a primeira linha por 3 e some com a terceira linha:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&4&5&24\\0&5&5&25\\0&12&16&72\end{array}\right]$

8. Multiplique a segunda linha pela fração 12/5 e subtraia a terceira linha:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&4&5&24\\0&5&5&25\\0&0&-4&-12\end{array}\right]$

9. Agora podemos reescrever o sistema equivalente:

$\begin{cases} x+4y+5z=24 & \\ 5y+5z=25 & \\ -4z=-12 \end{cases}$

10. A solução do sistema é:

$x=1\\\\y=2\\\\z=3$

Conclusão: o vetor procurado é u = (1, 2, 3).

Continue aprendendo com o link abaixo:

Integral indefinida

https://brainly.com.br/tarefa/51030680

Bons estudos!

Equipe Brainly