Determine tres numeros em PG, conhecendo sua soma 19, e soma de seus quadrados 133?
Soluções para a tarefa
Sejam a, b e c os números.
a+b+c=19
a²+b²+c²=133
Utilizando a propriedade:
"O quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos (pg com n° ímpar de termos)", temos
b²=a.c =>ac=ca=bb
a+b+c=19 ()² elevando os dois termos ao quadrado
(a+b+c)²=19²
(a+b+c)(a+b+c)=361 aplicando a propriedade distributiva
a²+ab+ac+ba+b²+bc+ca+cb+c²=361 => ab=ba , ac=ca e bc=cb
a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²=361
a²+2ab+2ac+2bc+b²+c²=361 colocando 2 em evidência
a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=361 como a²+b²+c²=133
133+2(ab+bc+ca)=361
2(ab+bc+ca)=361-133
2(ab+bc=ca)=228
ab+bc+ca=228/2
ab+bc+ca=114 como ca=bb
ab+bc+bb=114
b(a+c+b)=114
b(a+b+c)=114 como a+b+c=19
b.19=114
b=114/19
b=6
Da propriedade da pg
b²=ac
6²=ac
ac=36
a+b+c=19
a+6+c=19
a+c=19-6
a+c=13 como ac=36 =>c=36/a
a+36/a=13
a²+36=13a
a²-13a+36=0
Solucionando por Bhaskara
a=[-(-13)±√((-13)²-4.1.36)]/2.1
a=[13±√(169-144)]/2
a=[13±√25]/2
a=[13±5]/2
a1=(13+5)/2
a1=18/2
a1=9
a2=(13-5)/2
a2=8/2
a2=4
O primeiro n° pode ser 4 ou 9. Se o primeiro for 4 o terceiro será c=36/a=36/4=9, se o primeiro for 9 o terceiro será c=36/a=36/9=4.
Então os números são 4, 6 e 9 ou 9, 6 e 4.