Question

Determine três números em PA sabendo que a sua soma é igual a 3 e a soma dos seus quadrados é igual a 35

Answer 1

$P.A~(a_{1},~a_{2},~a_{3})$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}=3\\a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=3\\3a_{1}+3r=3\\3(a_{1}+r)=3\\a_{1}+r=3/3\\a_{1}+r=1\\r=1-a_{1}$

Veja que a₁ + r = a₂, logo a₂ = 1;
_________________________

$(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}=35\\(a_{1})^{2}+(a_{1}+r)^{2}+(a_{1}+2r)^{2}=35\\(a_{1})^{2}+1^{2}+(a_{1}+2[1-a_{1}])^{2}=35\\(a_{1})^{2}+(a_{1}+2-2a_{1})^{2}=35-1\\(a_{1})^{2}+(2-a_{1})^{2}=34\\(a_{1})^{2}+2^{2}-2*2*a_{1}+(a_{1})^{2}=34\\(a_{1})^{2}+4-4a_{1}+(a_{1})^{2}=34\\2(a_{1})^{2}-4a_{1}+4-34=0\\2(a_{1})^{2}-4a_{1}-30=0\\(a_{1})^{2}-2a_{1}-15=0$

$S=-b/a=-(-2)/1=2\\P=c/a=-15/1=-15$

Raízes: 2 números que quando somados dão 2 e quando multiplicados dão -15:

$(a_{1})'=-3\\(a_{1})''=5$
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Se a₁ = -3:

$a_{2}=(a_{1}+a_{3})/2\\1=(-3+a_{3})/2\\2*1=-3+a_{3}\\2=-3+a_{3}\\a_{3}=2+3\\a_{3}=5$

$P.A~(-3,1,5)$

Se a₁ = 5:

$a_{2}=(a_{1}+a_{3})/2\\1=(5+a_{3})/2\\2*1=5+a_{3}\\2=5+a_{3}\\a_{3}=2-5\\a_{3}=-3$

$P.A~(5,1,-3)$

Veja que o exercício pergunta os 3 números. Logo, a ordem sequencial dos 3 não importa:

Resposta: -3, 1 e 5

Answer 2

Considere os três números em P.A.:

$(x-r,x,x+r)$

A sua soma é 3:

$(x-r)+x+(x+r)=3$

$3x=3$

$x=3/3$

$x=1$

E a soma de seus quadrados é 35:

$(x-r) ^{2}+ x^{2} +(x+r) ^{2}=35$

$x^{2} -2rx+r ^{2}+ x^{2} + x^{2} +2rx+r ^{2}$

$3x^{2}+2r ^{2}=35$

Substituindo o valor de x, temos que:

$3(1) ^{2}+2r ^{2}=35$

$3+2r ^{2}=35$

$2r ^{2}=32$

$r ^{2}=32/2$

$r ^{2}=16$

$r= \sqrt{16}$

$r= \frac{+}{}4$

Substituindo os valores de r e x, temos:

$(x-r,x,x+r)$

$(1-4,1,1+4)$

$(-3,1,5)$


Os números portanto, são: -3, 1 e 5.


Espero ter ajudado :)