Question

Determine três números de p.a. crescente, sabendo que a soma destes números é 12 e o produto 60.

Answer 1

Vamos começar escrevendo a2 e a3 em função de a1 utilizando a equação do termo geral da PA:

$\boxed{a_n=a_1+(n-1).r}\\\\\\a_2=a_1+(2-1).r\\\\\boxed{a_2=a_1+r}\\\\\\a_3=a_1+(3-1).r\\\\\boxed{a_3=a_1+2r}$

Agora vamos as informações do enunciado:

--> "soma destes números é 12":    $a_1+a_2+a_3=12$

--> "...e o produto 60":   $a_1~.~a_2~.~a_3=60$

Fazendo as substituições de a2 a a3:

$a_1+a_2+a_3=12\\\\a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)=12\\\\3a_1+3r=12\\\\\boxed{a_1+r=4}\\\\\\\boxed{(a_1).(a_1+r).(a_1+2r)=60}$

Perceba que temos duas equações e duas incógnitas, ou seja, podemos montar um sistema de equações. Vamos resolver pelo método da substituição:

$Isolando ~a_1~na~1^a~equacao:\\\\a_1+r=4\\\\\boxed{a_1=4-r}\\\\Substituindo~na~2^a~equacao:\\\\(a_1).(a_1+r).(a_1+2r)=60\\\\(4-r).(4-r+r).(4-r+2r)=60\\\\(4-r).(4).(4+r)=60\\\\4.(-r^2+16)=60\\\\-r^2+16=\frac{60}{4}\\\\r^2=-15+16\\\\r^2=1\\\\r=\pm \sqrt{1}\\\\\boxed{r=\pm 1}$

Perceba que obtemos dois possíveis valores para a razão (+1 e -1). Para resolver isso, o enunciado nos dá outra informação: "...p.a. crescente...".

Se a PA é crescente, sua razão deve ser positiva, logo a razão vale +1.

Por fim, podemos calcular os termos:

$a_1 = 4 - r\\\\a_1=4-1\\\\\boxed{a_1=3}\\\\\\a_2=a_1+r\\\\a_2=3+1\\\\\boxed{a_2=4}\\\\\\a_3=a_1+2r\\\\a_3=3+2~.~1\\\\\boxed{a_3=5}$

RESPOSTA: Os números dessa PA são 3, 4 e 5