Determine todos os valores reais de k para que o conjunto de vetores (2, 0, -2), (2, 2, 0) e (k, 2, -2) seja LI.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Para que os vetores em um mesmo espaço vetorial sejam linearmente independentes suas combinações lineares dada como:
a1 v1 + a2 V2 + ... + an Vn = 0
onde, an são coeficientes, e vn vetores, de modo que a1, a2, .... an = 0.
De outra maneira, um vetor ser linearmente independente, quer dizer que este vetor não pode ser escrito como combinação linear do outro.
k(v1) =/= v2
Diante disso,
a(2,0,-2) + b(2,2,0) + c(k, 2,-2) = (0,0,0)
(2a,0,-2a) + (2b,2b,0) + (ck,2c,-2c) = (0,0,0)
(2a+2b+ck , 2b+2c , -2a - 2c) = (0,0,0)
Formando o sistema:
(1) 2a + 2b + ck = 0
(2) 2b + 2c = 0
(3) -2a - 2c = 0
Somando (1) com (3)
(4) 2b - 2c + kc = 0
Subtraindo (2) de (4)
-4c + kc = 0
c(-4+k) = 0
portanto, k = 4 para que c(-4 + k )=0 seja satisfeita. Desta forma, substituindo os valores das contantes encontradas:
c = 0, b = 0 , a = 0.