Question

Determine todos os números primos p e q tais que $4 + {p}^{2} + {q}^{2}$ é também primo:

#Cálculo e explicação

Answer 1

Olá Emanueli.

Queremos achar um primo n da forma p² + q² + 4.

Note que

n = p² + q² + 4 ≥ 4

Então n não pode ser 2, logo, n é um primo ímpar.

Se p e q são ímpares, então p² + q² seria par, logo, p² + q² + 4 também seria par e n seria divisível por 2.

Então um dos primos p ou q tem que ser par, ou seja, igual a 2. Já o outro tem que ser ímpar para que n seja ímpar.

Como p e q fazem um papel simétrico, podemos supor que q = 2.

n = p² + 2² + 4

n = p² + 8

• Fato que ajuda.

Se p é primo e p ≥ 5, então p² - 1 é divisível por 24.

Vou provar aqui que 3 divide p² - 1.

Se p é primo e é maior que 3, então ele tem o seguinte formato.

p = 3k ± 1

Eleve ambos os lados ao quadrado.

p² = 9k² ± 6k + 1

Subtraia 1 em ambos os lados.

p² - 1 = 9k² ± 6k

Logo 3 divide p² - 1.

Voltando de onde paramos.

n = p² + 8

Subtraia 9 em ambos os lados.

n - 9 = p² - 1

Suponha que p ≥ 5, logo.

3 | p² - 1 = n - 9

3 | n - 9

3 | n

Mas n é primo, então n só pode ser 3.

Faça:

n = 3 = p² + 8

p² = - 5 ← Absurdo !

Então p < 5, portanto, p só pode ser 3.

n = 3² + 8

n = 17

Esse é o único primo que pode ser escrito como a soma do quadrado de dois primos mais 4.

Solução (p, q) = (2, 3) ou (p, q) = (3, 2)


Dúvidas ? Comente.

Answer 2

Observe que:

$2~\equiv~2\pmod{4}~~~~~~~~~~~~~~3~\equiv-1\pmod{4}\\5~\equiv~1\pmod{4}~~~~~~~~~~~~~~7~\equiv3\equiv-1\pmod{4}\\13\equiv1\pmod{4}~~~~~~~~~~~~~~11\equiv3\equiv-1\pmod{4}\\17\equiv1\pmod{4}~~~~~~~~~~~~~~19\equiv3\equiv-1\pmod{4}$

Isto é, exceto $2$, todos os primos deixam resto $1$ ou $-1$ na divisão por $4$

Deixando o $2$ de lado, temos $p^2\equiv q^2\equiv(\pm1)^2\equiv1\pmod{4}$ e, por consequência, $p^2+q^2+4\equiv1+1+4\equiv6\equiv2\pmod{4}$. Isso significa que se $p,q\ne2$, então $p^2+q^2+4$ nunca será primo.

Assim, devemos ter $p=2$ ou $q=2$. 

$\bullet~~p=2$

Tomando $p=2$, obtemos $p^2+q^2+4=2^2+q^2+4=q^2+8$

Note que:

$3^2\equiv9\equiv0\pmod{3}~~~~~~~~~~~~~~~11^2\equiv121\equiv1\pmod{3}\\5^2\equiv25\equiv1\pmod{3}~~~~~~~~~~~~~13^2\equiv169\equiv1\pmod{3}\\7^2\equiv49\equiv1\pmod{3}~~~~~~~~~~~~~17^2\equiv288\equiv1\pmod{3}$

Desse modo, se $q\ne3$, podemos afirmar que $q^2\equiv1\pmod{3}$. Assim, $q^2+8\equiv1+8\equiv9\equiv0\pmod{3}$, ou seja, $p^2+q^2+4$ seria divisível por $3$

Logo, devemos ter $q=3$. E de fato $p^2+q^2+4=2^2+3^2+4=4+9+4=17$ é primo.

$\bullet~~q=2$

Tomando $q=2$ obteríamos $p=3$

Portanto, $(p,q)=(2,3)$ ou $(p,q)=(3,2)$