Question

Determine todas as raízes de x³+2x²-1=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é aparentemente fácil.
São pedidas todas as raízes da função do 3º grau abaixo:

x³ + 2x - 1 = 0

Agora veja isto e não esqueça mais: quando você tem uma equação de grau superior a "2", antes de qualquer coisa você verifica se uma das raízes poderá ser igual ao termo independente ou divisor ou múltiplo dele (no caso da sua questão, o termo independente será termo "d", que é o coeficiente do termo independente em equações do 3º grau, pois a sua forma é esta: ax³+bx²+cx+d = 0).
Verificando, vemos que uma das raízes é x = - 1 (exatamente igual ao termo "d"), pois se você substituir "x" por "-1" vai zerar a equação (lembre-se: toda raiz zera a equação da qual ela é raiz).
Ora, se "-1" é uma das raízes, então vamos dividir a equação acima por:
d(x) = x -(-1) ---> d(x) = x+1.
Efetuando a divisão de x³+2x²+0x- 1 por d(x) = x+1, teremos:

x³ + 2x² + 0x - 1 |_x+1_ <-- divisor
........................... x² + x - 1 <--- quociente
-x³-x²
-----------------------
0+ x² + 0x - 1
..- x² - x
-----------------------
...0 - x - 1
.....+x + 1
-----------------------
.......0...0 <--- Resto. Veja que teria que dá zero mesmo, pois "-1" é raiz e, assim, x³+2x²-1 é divisível por (x+1).

Agora veja que ficamos com o quociente: x²+x-1. Então vamos igualá-lo a zero para encontrar as outras duas raízes. Assim:

x² + x - 1 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes;

x' =  (-1-√5)/2
x'' = (-1+√5)/2

Assim, todas as três raízes serão estas:

x' = - 1
x'' = (-1-√5)/2
x''' = (-1+√5)/2

Veja: quando não encontrarmos uma das raízes com tanta facilidade como encontramos nesta questão, então para saber todas as raízes você teria que aplicar as relações de Girard, que dizem isto: numa equação do 3º grau, da forma ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x''e x'''  , suas raízes serão encontradas assim (o que dá um bom trabalho):

x' + x'' + x''' = -b/a
x'*x'' + x'*x''' + x''*x''' = c/a
x'*x''*x''' = -d/a

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.