Question

Determine todas as raízes da equação (x^4 - x² - 2x + 2) = 0 Sabendo que 1 é raiz dupla.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=(-1-i,~-1+i,~1~(dupla))}\}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o Algoritmo prático de Briot-Ruffini.

Considerando a equação de grau $4$ de coeficientes reais $a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$, tal que $a_4\neq0$, dispomos os coeficientes no algoritmo e podemos encontrar, ao utilizarmos as raízes, polinômios de grau menor cujas soluções são o restante das raízes.

Seja a equação $x^4-x^2-2x+2=0$, sabemos que $1$ é raiz dupla desta equação. Isto significa que esta raiz poderá ser utilizada duas vezes para encontrarmos um polinômio de grau menor. Como se trata de uma equação de grau 4, encontraremos uma equação quadrática.

Logo, dispomos os coeficientes no dispositivo da seguinte forma:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~-1~~~~-2~~~~2}}\\~~~~1~~|~~~~1$

Repetimos o primeiro coeficiente na linha abaixo e o processo consiste em multiplicar pela raiz (colocada abaixo do $x$) e somar ao próximo, até chegarmos ao último. Teremos:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~-1~~~~-2~~~~2}}\\~~~~1~~|~~~\boxed{1~~~~1~~ ~~~~~0~~~~~-2}~~~0$

Os termos em destaque serão os coeficientes do polinômio de grau menor. Neste caso, como 1 é raiz dupla, podemos utilizá-la novamente para encontrarmos o polinômio de grau 2.

Disponha os coeficientes novamente no algoritmo:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,}{~~x~~|~~~~1~~~~1~~~~0~~~~-2}}\\~~~~1~~|~~~~1$

Repita o processo

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,}{~~x~~|~~~~1~~~~1~~~~0~~~~-2}}\\~~~~1~~|~~~\boxed{1~~~~2~~~~2}~~~~~~0$

Dessa forma, o restante das raízes desta equação de grau 4 será encontrada ao resolvermos a seguinte equação quadrática:

$x^2+2x+2=0$

Utilizando a fórmula resolutiva, as soluções serão:

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}$

Sabendo que $\sqrt{m\cdot n}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}$ e que $i=\sqrt{-1}$, tal que $i$ é a unidade imaginária, temos

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{-2\pm2i}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{-2-2i}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{-2+2i}{2}$

Simplifique as frações

$x=-1-i~~~\mathtt{ou}~~~x=-1+i$

Estas são todas as raízes desta equação.