Determine, se existir o raio e o centro da circunferência, em cada caso:
a) X²+Y²-x-y+1=0
b) X²+Y²+2x-y-1/4=0
c) 3x²+3y²-9=0
d) 2x²+2y²+8y=0
e) 2x²+2y²+8x+8y+16=0
f) 3x²+3y²-8x-6y+15=0
g) X²+Y²+16x-4y+12=0
h) X²+Y²+3x-4y+2=0
i) 2x²+2y²-4x+2y=0
Soluções para a tarefa
Temos que: a) Não é circunferência; b) centro (-1,1/2) e raio √3/√2; c) centro (0,0) e raio √3; d) centro (0,-2) e raio 2; e) Não é circunferência; f) Não é circunferência; g) centro (-8,2) e raio √56; h) centro (-3/2,2) e raio √17/2; i) centro (1,-1/2) e raio √5/2.
A equação reduzida de uma circunferência de centro C = (x₀,y₀) e raio r é (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².
Para escrevermos a equação geral na forma reduzida, precisamos completar quadrado.
a) x² + y² - x - y + 1 = 0
x² - x + 1/4 + y² - y + 1/4 = -1 + 1/4 + 1/4
(x - 1/2)² + (y - 1/2)² = -1/2.
Não é uma circunferência.
b) x² + y² + 2x - y - 1/4 = 0
x² + 2x + 1 + y² - y + 1/4 = 1/4 + 1 + 1/4
(x + 1)² + (y - 1/2)² = 3/2.
Circunferência de centro (-1,1/2) e raio √3/√2.
c) 3x² + 3y² - 9 = 0
x² + y² = 3.
Circunferência de centro (0,0) e raio √3.
d) 2x² + 2y² + 8y = 0
x² + y² + 4y = 0
x² + y² + 4y + 4 = 4
x² + (y + 2)² = 4
Circunferência de centro (0,-2) e raio 2.
e) 2x² + 2y² + 8x + 8y + 16 = 0
x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
x² + 4x + 4 + y² + 4y + 4 = -8 + 4 + 4
(x + 2)² + (y + 2)² = 0.
Não é uma circunferência.
f) 3x² + 3y² - 8x - 6y + 15 = 0
3(x² - 8x/3) + 3(y² - 2y) = -15
3(x² - 8x/3 + 16/9) + 3(y² - 2y + 1) = -15 + 16/3 + 3
3(x - 4/3)² + 3(y - 1)² = -20/3.
Não é uma circunferência.
g) x² + y² + 16x - 4y + 12 = 0
x² + 16x + 64 + y² - 4y + 4 = -12 + 64 + 4
(x + 8)² + (y - 2)² = 56.
Circunferência com centro (-8,2) e raio √56.
h) x² + y² + 3x - 4y + 2 = 0
x² + 3x + 9/4 + y² - 4y + 4 = -2 + 9/4 + 4
(x + 3/2)² + (y - 2)² = 17/4.
Circunferência com centro (-3/2,2) e raio √17/2.
i) 2x² + 2y² - 4x + 2y = 0
x² + y² - 2x + y = 0
x² - 2x + 1 + y² + y + 1/4 = 1 + 1/4
(x - 1)² + (y + 1/2)² = 5/4.
Circunferência com centro (1,-1/2) e raio √5/2.