Question

Determine se B é base de  IR² e diga sua dimensão no espaço vetorial?

Obs: Veja o anexo!

Answer 1

Olá, Rubens.

Para que formem uma base de $\mathbb{R}^2$, os vetores (1,1) e (-1,0) devem:

1) ser linearmente independentes;

2) gerar $\mathbb{R}^2$.

Devemos demonstrar, portanto, que os vetores mencionados atendem estas duas condições.

Para que sejam linearmente independentes, os vetores devem satisfazer a seguinte condição:

$\lambda_1(1,1) + \lambda_2 (-1,0)=0\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2=0$

Verifiquemos:

$\lambda_1(1,1) + \lambda_2 (-1,0)=(0,0)\Rightarrow\begin{cases}\lambda_1-\lambda_2=0\\\lambda_1=0\end{cases}\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2=0$

Os vetores (1,1) e (-1,0) são, portanto, linearmente independentes (condição 1 atendida).

Vejamos, agora, se os vetores geram $\mathbb{R}^2$.

Dizer que os vetores (1,1) e (-1,0) geram $\mathbb{R}^2$ significa dizer que, para quaisquer vetores $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, $(x,y)$ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,1) e (-1,0), ou seja, devemos demonstrar que, para quaisquer vetores $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, existem escalares $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ tais que:

$(x,y)= \alpha (1,1)+ \beta (-1,0)$

Verifiquemos:

$(x,y)= \alpha (1,1)+ \beta (-1,0)\Rightarrow\begin{cases}x= \alpha - \beta \\y= \alpha \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x= y - \beta \\\alpha=y\end{cases}\Rightarrow\\\\ \begin{cases}\alpha=y\\\beta=y-x \\\end{cases}$

Fica demonstrado acima, portanto, que, para qualquer $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, existem escalares $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ tais que:

$(x,y)= \alpha (1,1)+ \beta (-1,0)$

Basta tomarmos $\alpha=y$ e $\beta=y-x$.

Conclusão: como os vetores (1,1) e (-1,0) atendem as duas condições, isto é, são linearmente independentes e geram $\mathbb{R}^2$, então podemos dizer que (1,1) e (-1,0) formam uma base para $\mathbb{R}^2$.

Como esta base é formada por dois vetores, então sua dimensão é dois.