Question

determine se as sequências abaixo divergem ou convergem. se ela convergir encontre o limite:

a) an = n(n-1) b) an= 2^n / 3^n+1 c) an= cos(n/2) d) an= n/1+√n

Answer 1

Teorema: Seja (an) n ∈ N uma sequencia e f[1,+∞[ → |R com (an) = f(n).
Se lim [x →∞] f(x) = L ⇒ lim[n→∞] (an) = L 

a) an = n(n-1), n≥1
Seja f(x) = x(x-1) 
lim [x→∞] f(x) = lim [x→∞] x(x-1) = ∞ * ∞ = ∞ 
Então, lim[n→∞](an) = ∞ e portanto DIVERGE

b) an = 2^n/3^n+1, n≥1
Seja f(x) = 2^x/3^x+1 
lim [x→∞] f(x) = lim [x→∞] 2^x = 3^x+1 = lim [x→∞](2/3)^x * (1/3) =
= 0 * 1/3 = 0
Então, lim[n→∞](an) = 0 e portanto CONVERGE

c) an = cos(n/2), para n≥1
Seja f(x) = cos(x/2)
lim [x→∞] f(x) = lim [x→∞] cos(x/2) 
Se x = 0 → f(x) = 1
Se x = π/2 → f(x) = 0
Se x = π → f(x) = -1
Se x = 3π/2 → f(x) = 0
e assim por diante. Essa sequencia oscila entre [-1, 1]
Então, lim[n→∞](an) = Não Existe. Portanto DIVERGE

d) an= n/1+√n, n≥ 1
Seja f(x) = x/1+√x  
lim [x→∞] f(x) = lim [x→∞] x/1+√x  → temos uma indeterminação do tipo 
∞/∞ então, passiva da aplicação da regra de L'Hopital.
Fica assim:  lim [x→∞] x/1+√x =  lim [x→∞] 1/(1/2√x) =  
= lim [x→∞] 2√x = ∞
Então, lim[n→∞](an) = ∞ e portanto DIVERGE

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04/10/2016
Sepauto 
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