Question

Determine se a função g(x)= x+1/x-1 é par ou ímpar

Answer 1

Se a função for par, teremos g(-x) = g(x) para todo "x" no domínio de g(x).

Se a função for ímpar, teremos g(-x) = -g(x) para todo "x" no domínio de g(x).

Como não há parêntesis separando numerador de denominador, vou considerar que g(x) seja:

$g(x)~=~x+\dfrac{1}{x}-1$

No entanto, caso tenha sido digitado errado, vou considerar a também a resolução para:

$g(x)~=~\dfrac{x+1}{x-1}$

Vamos então determinar g(-x):

$Para~~g(x)~=~x+\dfrac{1}{x}-1\\\\\\g(-x)~=~(-x)+\dfrac{1}{(-x)}-1\\\\\\g(-x)~=~x-\dfrac{1}{x}-1\\\\\\\boxed{g(-x)~=~-\left(x+\dfrac{1}{x}+1\right)}$

$Para~~g(x)~=~\dfrac{x+1}{x-1}\\\\\\g(-x)~=~\dfrac{(-x)+1}{(-x)-1}\\\\\\g(-x)~=~-\dfrac{1-x}{x+1}\\\\\\\boxed{g(-x)~=~\dfrac{x-1}{x+1}}$

Como podemos ver, nos dois possíveis casos apresentados, g(-x) é diferente de g(x) e também diferente de -g(x), ou seja, a função g(x) não é nem par nem ímpar.

No anexo, você pode ver que, em ambos os casos, não há simetria par ou impar.

Obs.: Em vermelho g(x) = (x+1)/(x-1) e, em azul, g(x) = x+1/x-1