Question

determine quantos termos tem a PG 7 14 3584

Answer 1

Olá.

Temos a P.G: {7, 14, ..., 3.584}

Para saber qual a quantidade de termos de uma P.G que termina em 3.584, podemos usar o termo geral da P.G.

$\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}$

A razão (q) da P.G pode ser obtida através da divisão entre um termo e seu antecessor. Dividindo 14 por 7 fica claro que a razão é 2.

Substituindo valores, vamos aos cálculos.

$\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\\\\\\ \mathsf{3.584=7\cdot2^{n-1}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{3.584}{7}=2^{n-1}}\\\\\\ \mathsf{512=2^{n-1}}$

Fatorando 512, teremos um potência de 2.

$\begin{array}{r|l} 512&2\\ 256&2\\ 128&2\\ 64&2\\ 32&2\\ 16&2\\ 8&2\\ 4&2\\ 2&2\\ 1\end{array}\\\\\\\mathsf{512=2^9}$

Substituindo 512 pela potência, vamos continuar os cálculos.

$\mathsf{512=2^{n-1}}\\\\\mathsf{5^9=2^{n-1}}$

Como as bases são iguais, podemos focar apenas nos expoentes. Teremos:

$\mathsf{9=n-1}\\\\ \mathsf{9+1=n}\\\\ \mathsf{10=n}$

Essa P.G tem 10 termos.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.