Question

Determine quantos multiplos 9 ha entre 100 e 1000 , a soma desses multiplos e o vigésimo termo dessa sequência .

Answer 1

O primeiro termo da sequência é o primeiro múltiplo de $9$ maior que $100$ que é

$a_{1}=9 \times 12=108$

O último termo da sequência é o último múltiplo de $9$ antes de $1\, 000$ que é

$a_{n}=9 \times 111=999$

Então a sequência $A$ é

$A=\left(9 \times 12, 9 \times 13,9 \times 14,...,9 \times k,...,9 \times 110,9 \times 111 \right)\\ \\ A=\left(108,117,126,...,9k,...,990,999 \right )$

que é uma progressão aritmética de razão $r=9$. Basta verificar que o próximo termo é $9$ unidades maior que o termo anterior.


O número de elementos desta sequência é dado por

$n=\left(111-12 \right)+1 \Rightarrow n=100 \text{ elementos}$


A fórmula da soma dos $k$ primeiros termos de uma progressão aritmética é

$S_{k}=\frac{\left(a_{1}+a_{k} \right )\times k}{2}$

Como queremos calcular a soma de todos os termos da sequência, temos que

$k=n=100\\ \\ a_{1}=108=9 \times 12\\ \\ a_{100}=999=9 \times 111$

Então a soma dos termos dessa P.A. é

$S_{100}=\frac{\left(a_{1}+a_{100} \right )\times 100}{2}\\ \\ S_{100}=\left(9 \times 12 + 9 \times 111 \right )\times 50\\ \\ S_{100}=9 \times \left(12+111 \right )\times 50\\ \\ S_{100}=9 \times 123 \times 50=55\, 350$


A fórmula do termo geral para o $k$-ésimo elemento de uma progressão aritmética é

$a_{k}=a_{1}+\left(k-1 \right ) \times r$

onde $a_{1}$ é o primeiro termo e $r$ é a razão da P.A.

Então, para encontrarmos o vigésimo termo, devemos ter

$k=20$

Assim, o vigésimo termo dessa P.A. é

$a_{20}=a_{1}+\left(20-1 \right ) \times r\\ \\ a_{20}=108+19 \times 9\\ \\ a_{20}=108+19 \times 9\\ \\ a_{20}=108+171 \Rightarrow a_{20}=279$