Question

Determine qual é o termo geral dessa sequência infinita e de o 7º termo:

 

$\{\frac{5}{3},\frac{25}{18},\frac{125}{162},\frac{625}{1944},...\}$

Answer 1

Belo exercício, meu grande amigo e irmão Dexter.

Podemos observar que o numerador e o denominador dos termos se comportam da seguinte forma: 

1) o numerador é uma potência de 5 elevado à ordem do termo;
2) o denominador é igual ao seu valor anterior multiplicado por 3 vezes a ordem do termo.

Portanto, o termo geral que define esta série é dada por:

$a_n=\frac{5^n}{3\cdot6\cdot9\cdot12\cdot...\cdot 3n} =\frac{5^n}{3\cdot1\cdot3\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot4\cdot...\cdot3n}=\frac{5^n}{3^n\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot n}\Rightarrow\\\\\\ \boxed{a_n=\frac{5^n}{3^n\cdot n!}}$

Sétimo termo:

$a_7=\frac{5^7}{3^7\cdot7!}$