Question

Determine para que valores de n os coeficientes binomiais de 5º, 6º e 7º termos do desenvolvimento do binômio (x + a)ⁿ estão em progressão aritmética.

Answer 1

Resposta:

Quinto termo: C(n,4) a^(n-4).p^4  

Sexto termo: C(n,5) a^(n-5). p^5  

Setimo termo: C(n,6) a^(n-6). p^6  

C(n,4) = n!/((n-4)!4!) = n!.5 /((n-4)(n-5)!5.4!) = C(n,5) x 5/(n-4)  

C(n,6) = n!/((n-6)!6!) = n! (n-5)/((n-5)(n-6)!6.5!) = C(n,5) x (n-5)/6  

Para que fiquem em P.A.  

C(n,4) + r = C(n,5)  

C(n,6) - r = C(n,5)  

Ou  

5C(n,5)/(n-4) + r = C(n,5)  

(n-5) C(n,5)/6 - r = C(n,5)  

Some as duas equações:  

(5/(n-4) + (n-5)/6) C(n,5) = 2 C(n,5)  

5/(n-4) + (n-5)/6 = 2  

Multiplique os dois lados por 6(n-4), cai na equação de segundo grau:  

n^2-21n+98=0  

Solução n= 7 ou 14.  

Conferindo:  

C(7,4) = 7!/(4!3!)= 7.6.5/3.2 = 35  

C(7,5) = 7!/(5!2!)= 7.6/2 = 21  

C(7,6) = 7!/(6!1!)= 7  

ok, PA com razão -14  

C(14,4)= 14!/(4!10!)=14.13.12.11/4.3.2= 1001  

C(14,5)= 14!/(5!9!)= 14.13.12.11.10/5.4.3.2= 2002  

C(14,6)= 14!/(6!8!)= 14.13.12.11.10.9/6.5.4.3.2 = 3003  

ok, PA com razão 1001  

Então n= 7 e n=14 são solução.

Explicação passo-a-passo: