Question

Determine os zeros das funções quadráticas, se existirem.

a)y= -x²+1
b)y= 5x²+10
c)y= -9x²-6x-1
d)y= x²-4
e)y= -x²+2x-5
f)y= 3x²-5x+2
g)y= 6x²
i)y= -3x²+2x-1
j)y= -3x²+12x
k)y= x²-4x+3
l)y= -x²+6x-9
m)y= -x²+2x
n)y= x²+2x+3
o)y=x²+2x+3
p)y= 3x²-4x
q)y= -x²+x+1
r)y= -x²+4x-5
s)y= x²-6x+10
t)y= -x²
u)y= x²-4x
v)y= x²-3x+2
w)y= x²-2x-8
x)y= x²-9
y)y= 4-2x
z)y= -2x+4x-1

Answer 1

a)
y= - x² + 1
0 = - x² + 1
x² = 1
x = √1
x = + 1 e x = - 1

*************************
b)
y= 5x² + 10
0 = 5x² + 10
- 10 = 5x²
5x² = - 10
x² = - 10/5
x² = - 2
x = √-2 (não há solução para os Números Reais)

*********************************
c)
y = - 9x² - 6x - 1
0 = - 9x² - 6x - 1
- 9x² - 6x - 1 = 0  (-1)
9x² + 6x + 1 = 0
a = 9; b = 6; c = 1
Δ = b² - 4ac
Δ = 6² - 4.9.1
Δ = 36 - 36
Δ = 0

x = - b +/- √Δ     =  - 6 +/- √0
      ---------------      ----------------
              2a                 2.9

x =  - 6    (:6)      - 1
      ------         =  -----
        18   (:6)        3


********************
d)
y= x² - 4
0 = x² - 4
4 = x²
x² = 4
x = √4
x = + 2 e x = - 2

***********************
e)
y = - x² + 2x - 5
0 = - x² + 2x - 5
- x² + 2x - 5 = 0  (-1)
x² - 2x + 5 = 0
a = 1; b = - 2; c = 5
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4.1.5
Δ = 4 - 20
Δ = - 16 (não há solução para os Números Reais, pois Δ < 0)

*********************

f)
y = 3x² - 5x + 2
0 = 3x² - 5x + 2
3x² - 5x + 2 = 0
a = 3; b = - 5; c = 2
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4.3.2
Δ = 25 - 12.2
Δ = 25 - 24
Δ = 1

x = - b +/- √Δ    = - (-5) +/- √1
      --------------     -----------------
            2a                     2.3

x  = 5 + 1      =  6/6   =  1
       ---------
           6

x =  5 - 1     =   4  (:2)    =    2
      ---------      -----             ------         
           6           6  (:2)           3

*******************
g)
y= 6x²
0 = 6x²
6x² = 0
x² = 0/6
x² = 0
x = 0

*****************************
i)
y = - 3x² + 2x - 1
0 = - 3x² + 2x - 1
- 3x² + 2x - 1 = 0
a = - 3; b = 2; c = - 1
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4.(-3).(-1)
Δ = 4 + 12.(-1)
Δ = 4 - 12
Δ = - 8 (não há solução para os Números Reais, pois Δ < 0)

*******************************
j)
y= - 3x² + 12x
0 = - 3x² + 12x
- 3x² + 12x = 0 
x.(- 3x + 12) = 0
x = 0
- 3x + 12 = 0
12 = 3x
3x = 12
x = 12/3
x = 4

*********************************
k)
y = x²- 4x + 3
0 = x² - 4x + 3
x² - 4x + 3 = 0
a = 1; b = - 4; c = 3
Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4.1.3
Δ = 16 - 12
Δ = 4

x = - b +/- √Δ   =  - (-4) +/- √4
      --------------     -------------------
          2a                   2.1

x = 4 + 2
      --------- = 6/2 = 3
          2

x = 4 - 2
      -------  = 2/2 = 1
         2

*********************************
l)
y= - x² + 6x - 9
0 = - x² + 6x - 9
- x² + 6x - 9 = 0  (-1)
x² - 6x + 9 = 0
a = 1; b = - 6; c = 9
Δ = b² - 4ac
Δ = (-6)² - 4.1.9
Δ = 36 - 36
Δ = 0

x = - b +/- √Δ    = - (-6) +/- √0           6
      ---------------    -----------------   =  -----  =   3
           2a                  2.1                    2

x = 3

****************************
m)
y= - x² + 2x
0 = - x² + 2x (-1)
0 = x² - 2x
x² - 2x = 0
x.(x - 2) = 0
x = 0

x - 2 = 0
x = 2

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

n) = o) "iguais"

y = x² + 2x + 3
0 = x² + 2x + 3
x² + 2x + 3 = 0

o)
y = x² + 2x + 3
0 = x² + 2x + 3
x² + 2x + 3 = 0
a = 1; b = 2; c = 3
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4.1.3
Δ = 4 -12
Δ = - 8 (não há solução para os Números Reais, pois Δ < 0)

******************************
p)
y = 3x² - 4x
0 = 3x² - 4x
3x² - 4x = 0
x.(3x - 4) = 0
x = 0
3x - 4 = 0
3x = 4
x = 4/3

********************************
q)

y = - x² + x + 1
0 = - x² + x + 1
- x² + x + 1 = 0
a = - 1; b = 1; c = 1
Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4.(-1).1
Δ = 1 + 4.1
Δ = 1 + 4
Δ = 5

x = - b +/- √Δ    = - 1 +/- √5
      --------------     ---------------
             2a              2.(-1)

x = - 1 + √5       =  1 - √5
      --------------      ----------
           - 2                    2

x = - 1 - √5           1 + √5
      -------------  =  ----------
           - 2                  2

 ************************************
r)
y = - x² + 4x - 5
0 = - x² + 4x - 5
- x² + 4x - 5 = 0
a = - 1; b = 4; c = - 5
Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4.(-1).(-5)
Δ = 16 + 4.(-5)
Δ = 16 - 20
Δ = - 4 (não há solução para os Números Reais, pois Δ < 0)

****************************************************************
s)
y = x² - 6x + 10
0 = x² - 6x + 10
x² - 6x + 10 = 0
a = 1; b = - 6; c = 10
Δ = b² - 4ac
Δ = (-6)² - 4.1.10
Δ = 36 - 40
Δ = - 4 (não há solução para os Reais, pois Δ < 0)

*********************************
t)
y= - x²
0 = - x²
- x² = 0 (-1)
x² = 0
x = 0

************************
u)
y = x² - 4x
0 = x² - 4x
x² - 4x = 0
x.(x - 4) = 0
x = 0
x - 4 = 0
x = 4

*************************
v)
y = x² - 3x + 2
0 = x² - 3x + 2
x² - 3x + 2 = 0
a = 1; b = - 3; c = 2
Δ = b² - 4ac
Δ = (-3)² - 4.1.2
Δ = 9 - 8
Δ = 1

x = - b +/- √Δ     =  - (-3) +/- √1
      ---------------     ------------------
           2a                     2.1

x =  3 + 1
      ---------  =  4/2 = 2
           2

x =  3 - 1
       --------   = 2/2 = 1
          2

*************************
w)
y = x² - 2x - 8
0 = x² - 2x - 8
x² - 2x - 8 = 0
a = 1; b = - 2; c = - 8
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4.1.(-8)
Δ = 4 + 32
Δ = 36

x = - b +/- √Δ    = -  (-2) +/- √36
      --------------     ----------------------
           2a                      2.1

x =  2 + 6    =  8/2 = 4
       --------
           2

x =   2 - 6     =  - 4/2 = - 2
      ----------
            2
******************************
x)
y = x² - 9
0 = x² - 9
9 = x²
x² = 9
x = √9
x = + 3 e x = - 3

**************************
y)

y = 4 - 2x²
0 = 4 - 2x²
2x² = 4
x² = 4/2
x² = 2
x = √2
x = + 2 e x = - √2

********************************
z)
y = - 2x² + 4x - 1
0 = - 2x² + 4x - 1
- 2x² + 4x - 1 = 0
a = - 2; b = 4; c = - 1
Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4.(-2).(-1)
Δ = 16 - 8
Δ = 8

x = - b +/- √Δ    =  - 4 +/- √8
      --------------      ----------------
             2a                2.(-2)

x = - 4 + 2√2              1 -  √2
      ----------------   =          -----
             - 4                        2

x = - 4 - 2√2     =   1 + √2
      --------------            ------
            - 4                     2

******************************************