Question

Determine os zeros das funções de modo que tenham duas raizes reais iguais:
f(x)=mx²+(m+1)x+(m+1).

Answer 1

Uma equação do segundo grau possui duas raízes reais e iguais quando Δ = 0

$\Delta=0\\b^{2}-4ac=0\\(m+1)^{2}-4\cdot m\cdot(m+1)=0\\(m+1)^{2}-4m(m+1)=0$

Colocando (m + 1) em evidência:

$(m+1)\cdot(m+1-4m)=0\\(m+1)\cdot(1-3m)=0$

Teremos duas possibilidades pro valor de 'm':

$m+1=0~~~\therefore~~~m=-1\\\\\\1-3m=0~~~\therefore~~~m=\dfrac{1}{3}$

Achando as raízes da função quando 'm' for -1:

$f(x)=mx^{2}+(m+1)x+(m+1)\\f(x)=-x^{2}+(-1+1)x+(-1+1)\\f(x)=-x^{2}\\0=-x^{2}\\0=x^{2}\\\pm\sqrt{0}=x\\x=0$

As duas raízes são iguais a zero

Achando as raízes da função quando 'm' for 1/3:

$f(x)=(\frac{1}{3})x^{2}+(\frac{1}{3}+1)x+(\frac{1}{3}+1)\\\\f(x)=(\frac{1}{3})x^{2}+(\frac{4}{3})x+\frac{4}{3}$

Para acharmos as raízes, fazemos f(x) = 0

$f(x)=0\\\\(\frac{1}{3})x^{2}+(\frac{4}{3})x+\frac{4}{3}=0$

Multiplicando todos os membros por 3:

$x^{2}+4x+4=0\\\\S=-b/a=-4/1=-4\\P=c/a=4/1=4$

Raízes: 2 números que quando somados dão - 4 e quando multiplicados dão 4:

$x'=x''=-2$

As duas raízes são iguais a -2