Question

Determine os valores reais de x para que exista:
a- log2 (x-8)
b- log (1-x)
c-log5(5x-2)+log5 (x-3)

De a condição de existencia de :
a- log5 (x elevado a dois +4x-5)
b-log (50-5x-x ao quadrado)

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se as seguintes questões sobre logaritmos.

1ª questão: Determine os valores reais de "x" para que existam as seguintes expressões, que vamos chamá-las, cada uma, de um certo "y", apenas para deixá-las igualada a alguma coisa:

a) y = log₂ (x-8)

Note que só existem logaritmos de números positivos (maiores do que zero). Então deveremos impor que o logaritmando (x-8), para que exista o logaritmo pedido, deverá ser, necessariamente, maior do que zero. Logo:

x - 8 > 0
x > 8 ----- Esta é a resposta, ou seja, esta é a condição de existência da expressão do item "a" da 1ª questão.

b) y = log (1-x) ------ veja: sempre que a base é omitida, subentende-se que ela seja "10", ou seja, a expressão do item "b" da 1ª questão, deverá ser lida da seguinte forma:

y = log₁₀ (1-x)

Agora vamos para a condição de existência: o logaritmando (1-x) deverá ser positivo, ou seja, deveremos impor que:

1 - x > 0
- x > -1 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
x < 1 ----- Esta é a resposta, ou seja esta é a condição de existência para a expressão do item "b" da 1ª questão.

c) y = log₅ (5x-2) + log₅ (x-3)

Vamos para as condições de existência:

5x-2 > 0
5x > 2
x > 2/5
e
x-3 > 0
x > 3.

Agora veja: entre "x" ser maior do que "2/5" e ser maior do que "3", então vai prevalecer a condição de existência de x > 3, pois sendo "x" maior do que "3" já será maior do que "2/5".
Logo, prevalecerá a condição de existência:

x > 3 ----- Esta é a resposta, ou seja esta é a condição de existência para a expressão do item "c" da 1ª questão.

2ª questão: Dê as condições de existência das seguintes expressões (que, a exemplo da primeira questão, também vamos chamá-las de um certo "y", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa):

a) y = log₅ (x²+4x-5) ---- veja: a condição de existência é que o logaritmando (x²+4x-5) seja MAIOR do que zero. Logo, deveremos ter, para que exista a expressão:

x² + 4x - 5 > 0

Agora note que: uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c > 0, com raízes iguais a x' e x'', será:

a.i) se o termo "a" for positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²) então, para que a função seja maior do que zero, será necessário que:

x < x' ou x > x'' (ou seja: a incógnita "x" deverá assumir valores extrarraízes (fora das raízes)).

a.ii) se o termo "a" for negativo, então, para que a função seja maior do que zero, será necessário que:

x' < x < x'' ---- (ou seja: a incógnita "x" deverá assumir valores intrarraízes (entre as raízes)).

Bem, visto isso, vamos trabalhar com a função do item "a" da 2ª questão, que é:

x² + 4x - 5 > 0 ----- encontrando as raízes, teremos:

x' = - 5
x'' = 1.

Assim, como o termo "a" é positivo, então deveremos ter que:

x < -5, ou x > 1 ----- Esta é a resposta, ou seja, esta deverá ser a condição de existência para a expressão do item "a" da 2ª questão.

b) y = log₅ (50 - 5x - x²)

Note que aqui temos a seguinte função, que deverá ser MAIOR do que zero:

- x² - 5x + 50 > 0

Encontrando as raízes, temos que:

x' = - 10
x'' = 5.

Assim, como o termo "a" é negativo, então deveremos ter que:

- 10 < x < 5 ----- Esta é a resposta, ou seja, esta é a condição de existência da expressão do item "b" da 2ª questão.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.