Question

determine os valores reais de m para que exista um numero real x a) cos x +5m =6

Answer 1

Note que as funções trigonométricas seno e cosseno abrangem os valores de -1 até 1, ou seja, cada uma das equações que seguem devem estar entre 1 e -1, inclusive: 

Obs: Estou utilizando os símbolos de menor (<) e maior (>), porém leia como menor ou igual e maior ou igual, já que as equações podem valer -1 e 1. 

a) -1<2m+5<1 => -6<2m<-4 => -3<m<-2 (Portanto m deve estar entre -3 e -2, inclusive) 

b) -1<3m+4<1 => -5<3m<-3 => -5/3<m<-1 (Portanto m deve estar entre -5/3 e -1, inclusive) 

c) Essa dividiremos em partes, primeiro: 
3m²-m-1<1 => 3m²-m-2<0 => (Por Bháskara achamos as raízes: m=1 e m=-2/3) 
E fazendo o gráfico vemos que, -2/3<m<1 
Segundo: 
3m²-m-1>-1 => 3m²-m>0 => m(3m-1)>0 (Raízes: m=0 e m=1/3) 
E fazendo o gráfico vemos que m<0 ou m>1/3 
A interssecção dessas condições consiste na nossa resposta 
Portanto, -2/3<m<0 ou 1/3<m<1 

d) -1<1-m²<1 => -2<-m²<0 => 2>m²>0 

Logo, como m² é sempre maior ou igual a zero, temos que 
m²<2 => -(raiz de 2)<m<(raiz de 2)