Question

Determine a função do segundo grau que passa pelo ponto (−1, 0) e tem vértice no ponto (2,3).

Answer 1

De acordo com a questão. Temos,
$y=ax^2+bx+c\\V(2,3)\\P(-1,0)$
Então,
$I)\\\\(-1)^2a+(-1)b+c=0\\\\a-b+c=0\\\\c=b-a\\\\II)\\\\\frac{-b}{2a}=2\\\\b=-4a\\\\III)\\\\\frac{-A}{4a}=3\\\\b^2-4ac=-12a\\\\b^2-4ac+12a=0$.

Substituindo II em I, Temos;

$c=b-a\\\\c=-4a-a\\\\c=-5a$

Por último, substituindo I e II em III, Temos,

$b^2-4ac+12a=0\\\\(-4a)^2-4a(-5a)+12a=0\\\\36a^2+12a=0:(12)\\\\3a^2+a=0\\\\a(3a+1)=0\\\\a'=0$.Não satisfaz

$a"=-\frac{1}{3}$

$b=-4.\frac{-1}{3}\\\\b=\frac{4}{3}\\\\c=-5\frac{-1}{3}\\\\c=\frac{5}{3}$

Logo,

$y=ax^2+bx+c\\\\y=-\frac{x}{3}+\frac{4x}{3}+\frac{5}{3}$

Espero ter ajudado.
Abraços!