Question

Determine os valores reais de k,de modo que a equaçao (x-2)²+(y+3)² = 2k-3. Represente: a) Uma circunferencia b) Um ponto.

Answer 1

Olá
a) 2k - 3 > 0 ⇒ 2k > 3 ⇒ k = 3/2

b) 2k - 3 = 0 ⇒ 2k = 3 ⇒ k = 3/2

Answer 2

A equação geral reduzida de uma circunferência é da forma: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, onde $(a,b)$ são as coordenadas do centro e $r$ é o raio. Como $r$ é uma distância, necessariamente temos que $r\geq0$.

Note que, se $r=0$, teríamos um caso degenerado: uma circunferência de raio nulo. Isso caracteriza um ponto: o próprio centro da circunferência. Caso contrário, teremos $r\ \textgreater \ 0$, que é a circunferência propriamente dita. Com isso, podemos prosseguir.

Comparando a equação dada com a equação geral reduzida da circunferência, vemos que $r^2=2k-3$. 

a) Para que seja uma circunferência, como visto acima, é necessário que tenhamos $r\ \textgreater \ 0$. Assim:

$r\ \textgreater \ 0\Longrightarrow r^2\ \textgreater \ 0\Longrightarrow 2k-3\ \textgreater \ 0\Longrightarrow 2k\ \textgreater \ 3\Longrightarrow \boxed{k\ \textgreater \ \dfrac{3}{2}}$

b) Para que a equação caracterize apenas um ponto, como visto acima, é necessário que tenhamos $r=0$. Portanto:

$r=0\Longrightarrow r^2=0\Longrightarrow 2k-3=0\Longrightarrow2k=3\Longrightarrow\boxed{k=\dfrac{3}{2}}$