Question

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:
f(x,y) $xe^{-2x^{2}-2y^2 }$

Answer 1

Tomando o gradiente da função, temos:

$\nabla{}f=\hat{x}\partial_xf+\hat{y}\partial_yf=\hat{x}(1-4x^2)e^{-2x^2-2y^2}-\hat{y}4xye^{-2x^2-2y^2}.$

Assim, os pontos de interesse são aqueles que satisfazem a condição

$\nabla{}f=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\begin{cases} 1-x^2=0 \\4xy=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\pm\frac{1}{2} \\4xy=0\end{cases}\Rightarrow(x,y)=(\frac{1}{2},0) \text{ou} (-\frac{1}{2},0)$

O determinante Hessiano da função é dado por 

$D(x,y)=\partial_{xx}f\partial_{yy}f-(\partial_{xy}f)^2=-16(4x^4+4x^2y^2-3x^2+y^2)e^{-4x^2-4y^2}$

Seu valor nos pontos críticos obtidos é

$D(\frac{1}{2},0)=-16(4(\frac{1}{2})^4+4(\frac{1}{2})^20^2-3(\frac{1}{2})^2+0^2)e^{-4(\frac{1}{2})^2-4\cdot0^2} \\ \\ D(\frac{1}{2},0)=-16(\frac{1}{4}-\frac{3}{4})e^{-1}=\frac{8}{e}\ \textgreater \ 0.$

Da mesma forma, 

$D(-\frac{1}{2},0)=\frac{8}{e}\ \textgreater \ 0.$

Como 

$\partial_{xx}f(\frac{1}{2},0)\ \textgreater \ 0$ e $\partial_{xx}f(-\frac{1}{2},0)\ \textless \ 0$ (faça as contas você mesmo), podemos dizer que 

$f(\frac{1}{2},0)=\frac{1}{2\sqrt{e}},\quad f(-\frac{1}{2},0)=-\frac{1}{2\sqrt{e}}$

São respecitvamente um máximo e um mínimo locais.