Question

Determine os valores de x, y, alfa e beta de modo que a igualdade a seguir seja verdadeira. alfa. [ 1 x] + beta. [2 5] = [-1 2] [y -1] [1 10] [4 7]

Answer 1

Os valores de x, y, α e β são, respectivamente, 3, -1, 5 e -7.

Primeiramente, vamos multiplicar as matrizes pelos escalares α e β:

$\left[\begin{array}{ccc}\alpha&\alpha x\\-\alpha&2\alpha\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}2\beta&5\beta\\\beta y&-\beta\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&10\\4&7\end{array}\right]$.

Feito isso, basta realizar a soma das matrizes:

$\left[\begin{array}{ccc}\alpha + 2\beta&\alpha x + 5\beta\\-\alpha + \beta y&2\alpha - \beta\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&10\\4&7\end{array}\right]$.

Agora, temos que comparar as duas matrizes. Observe que o seguinte sistema é válido:

{α + 2β = 1

{2α - β = 7

Da primeira equação, temos que α = 1 - 2β.

Substituindo o valor de α na segunda equação, obtemos:

2(1 - 2β) - β = 7

2 - 4β - β = 7

-5β = 5

β = -1.

Logo,

α = 1 - 2(-1)

α = 3.

Além disso, podemos criar outro sistema:

{αx + 5β = 10

{-α + βy = 4

Daí,

3x - 5 = 10

3x = 15

x = 5

e

-3 - y = 4

y = -7.