Question

Determine os valores de x, y, a e b de modo que a igualdade a seguir seja verdadeira

Answer 1

Os valores de x, y, α e β são, respectivamente, 5, -7, 3 e -1.

Completando a questão:

$\alpha .\left[\begin{array}{ccc}1&x\\-1&2\end{array}\right] + \beta .\left[\begin{array}{ccc}2&5\\y&-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&10\\4&7\end{array}\right]$.

Primeiramente, vamos realizar as multiplicações das matrizes pelos escalares α e β:

$\left[\begin{array}{ccc}\alpha&\alpha x\\-\alpha&2\alpha\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}2\beta&5\beta\\\beta y&-\beta\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&10\\4&7\end{array}\right]$.

Feito isso, vamos somar as duas matrizes:

$\left[\begin{array}{ccc}\alpha + 2\beta&\alpha x + 5\beta\\-\alpha + \beta y&2\alpha - \beta\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&10\\4&7\end{array}\right]$

Agora, basta compararmos uma matriz com a outra.

Perceba que o seguinte sistema é válido:

{α + 2β = 1

{2α - β = 7

Da primeira equação, podemos dizer que α = 1 - 2β. Substituindo na segunda equação:

2(1 - 2β) - β = 7

2 - 4β - β = 7

5β = 5

β = 1.

Logo,

α = 1 - 2.(-1)

α = 3.

Além disso, temos que:

αx + 5β = 10

3x + 5(-1) = 10

3x - 5 = 10

3x = 15

x = 5

e

-α + βy = 4

-3 - y = 4

y = 7.