Question

Determine os valores de x que satisfazem a equação (passo a passo):
4 sen^4x - 11 sen²x + 6 = 0

Answer 1

Vamos lá.

São pedidos os possíveis valores do arco "x" que satisfazem à equação abaixo.

4sen⁴(x) - 11sen²(x) + 6 = 0 ---- vamos fazer sen²(x) = y. Com isso, ficaremos:

4y² - 11y + 6 = 0 ------ se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

y' = 3/4
y'' = 2

Mas lembre-se que fizemos sen²(x) = y. Então:

i) Para y = 3/4 , teremos:

sen²(x) = 3/4
sen(x) = +-√(3/4) ---- ou, o que é a mesma coisa:
sen(x) = +-√(3)/√(4) ---- como √(4) = 2, ficaremos:
sen(x) = +-√(3)/2  --- ou seja, daqui vemos que:

sen(x)' = -√(3)/2
e
sen(x)'' = √(3)/2

Agora note: o seno é igual a "-√(3)/2" em todo o círculo trigonométrico nos arcos de 210º (ou 7π/6 radianos) e 300º (ou 5π/3 radianos).
E o seno é igual a "√(3)/2" nos arcos de 60º (ou π/3 radianos) e de 120º (2π/3 radianos).

ii) para y = 2, teremos:

sen²(x) = 2 <--- impossível. Note que o seno varia de (-1) a (+1). Logo, o seno ao quadrado nunca poderá ser igual a "2". Logo, descartaremos esta raiz.

iii) Assim, ficaremos com a primeira solução.
Agora vamos generalizar a primeira solução,valendo notar que, quando generalizamos, ela fica valendo para qualquer arco côngruo aos encontrados na primeira solução.
Assim, o arco "x" poderá ser:

x' = 7π/6 + 2kπ , com "k" inteiro
x'' = 5π/3 + 2kπ, com "k" inteiro
x''' = π/3 + 2kπ, com "k" inteiro
x'''' = 2π/3 + 2kπ, com "k" inteiro.

Se não nos enganamos em alguma coisa, a resposta é a que demos aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.