Question

Determine os valores de x q satisfazem à inequação x²-2x-3 / x-2 $\leq 0$
                                                                           

Answer 1

Primeiramente devemos estudar as restrições. Como não podemos dividir por 0 (zero), então a expressão que está no denominador tem que ser diferente de zero. Assim:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Agora devemos encontrar as raízes de expressão do numerador.

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Delta = (-2)^2 - 4 . 1 . (-3)  = 4 +12 = 16

Então:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2}$
$x_1 = \frac{2 + 4}{2}$
$x_1 = \frac{6}{2}$
$x_1 = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2}$
$x_2 = \frac{2 - 4}{2}$
$x_2 = \frac{-2}{2}$
$x_2 = -1$

Sabendo as raízes podemos reescrever a expressão assim:

$x^2 - 2x - 3 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 3)(x + 1)$

Voltando a inequação, temos:

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 2} \leq 0$

$\frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 2} \leq 0$

Como não podemos simplificar fazemos:

$(x - 3)(x + 1) \leq 0$

Como esta expressão do segundo grau tem o coeficiente do termo $x^2 \geq 0$, então a parábola é voltada para cima, ficando os valores negativos entre os valores das raízes encontradas, assim:

$-1 \leq x \leq 3$

Não esquecendo a restrição calculada acima:

$x \neq 2$

Então o conjunto solução é {x pertencente aos Reais tal que $-1 \leq x \leq 3$ e $x \neq 2$}

Answer 2

Resposta:

[-1;2) ou [3;+infinito)

Explicação passo-a-passo:

Para resolver usarei a "Regra do varal". Esta regra consiste em utilizar as regras de sinais da multiplicação e da divisão nas inequações produto ou quociente.

Primeiro encontre as raízes das inequações:

x² -2x -3 ---- raízes -1 e +3

x -2 --- raiz +2

Depois coloque-as em ordem no varal abaixo e aplique as regras de sinais.

Perceba que a inequação x-2 não pode obter valor igual a zero, pois está no divisor e NÃO EXISTE divisão por zero, logo x não pode ser igual a 2.

Sendo assim, os trechos da inequação menores ou iguais a zero são

[-1;2) ou [3;+infinito)