Question

Determine os valores de x e y nos triângulos abaixo:

Answer 1

Resposta:

a)  $y=\frac{10*\sqrt{3} }{3 }$  

b) x = 7,99 cm   aproximadamente 8 cm

Explicação passo a passo:

a)

Neste caso em que temos um triângulo em que se conhecem dois ângulos

internos e a dimensão de um lado oposto a um dos ângulos, é mais

eficiente encontrar a dimensão de y usando a Lei dos Senos.

Observação → Lei dos Senos

$\frac{a}{sen(a)} =\frac{b}{sen(b)} =\frac{c}{sen(c)}$

A razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante entre

cada lado e o respetivo seno do ângulo oposto.  

$\frac{10}{sen(120)} =\frac{y}{sen(30)}$

produto cruzado

$sen(120)*y=10*sen(30)$  

Cálculos auxiliares:

$sen(30) =\frac{1}{2}$  

Este valor faz parte de uma minitabela de valores das funções  

trigonométricas que cada estudante necessita saber de memória .

Por outro lado prova-se que:

$sen(120) = cos(120-90)=cos(30) =\frac{\sqrt{3} }{2}$

Temos então valores exatos para estas funções trigonométricas, aqui.

Fim de cálculos auxiliares

$sen(120)*y=10*sen(30)$

$\frac{\sqrt{3} }{2} *y=10*\frac{1}{2}$  

Ao multiplicar todas as parcelas por 2, vai cancelar os denominadores.

$\sqrt{3} *y=10$

$y=\frac{10}{\sqrt{3} }$

Racionalizando o denominador.

Multiplica-se o numerador e o denominador por $\sqrt{3}$

$y=\frac{10*\sqrt{3} }{\sqrt{3} *\sqrt{3} }$

Atenção → $\sqrt{3} *\sqrt{3} =(\sqrt{3} )^{2} =3$

$y=\frac{10*\sqrt{3} }{3 }$

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b)

Condições para cálculo de "x".

Se conhecer a medida do ângulo A posso aplicar a Lei dos Senos ou a Lei

dos Cossenos.

Observação 1 → Lei dos Senos

No triângulo ABC esta lei diz que :

$\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{sen C}$

onde A ; B e C são vértices do triângulo e "a" , "b" e " c" são os lados

opostos aos ângulos , respetivamente, A , B e C.

Observação 1 → Lei dos Co ssenos

Sendo, num triângulo os ângulos internos A ; B e C, e os lados "a" ; "b" e "c"

,respetivamente opostos a esses ângulos, para calcular o lado  "a" uso a

seguinte fórmula:

a² = b² + c² - 2 * b * c * cos ( ângulo A )

Neste caso não posso aplicar diretamente a Lei dos Co ssenos porque para

o fazer além  de conhecer as dimensões dos lados AB e AC precisava de

conhecer a amplitude do ângulo A ( que não está indicada ).

Lei dos Cossenos não aplicável diretamente.

Para usar diretamente a Lei dos Senos faria:

$\frac{7}{sen(60)} =\frac{x}{sen (BAC)}$

Mas não temos a amplitude do ângulo BAC , podemos chamá-lo de ângulo

A.

Como não posso calcular diretamente o ângulo A ,vou primeiro usar a Lei

dos Senos para calcular ângulo B.

$\frac{7}{sen(60)}=\frac{3}{senB}$

produto cruzado

$3*sen(60) =7*sen(B)$

O seno de 60º é conhecido seu valor exato, que é $\frac{\sqrt{3} }{2}$

$3*\frac{\sqrt{2} }{2} =7*sen(B)$

$\frac{3\sqrt{2} }{2} =7*sen(B)$

$\frac{3\sqrt{2} }{2} :7 =7:7*sen(B)$

$\frac{3\sqrt{2} }{14} =sen(B)$

Até aqui tenho lidado com valores exatos.

Só que nenhum ângulo de valor exato tem o seno $\frac{3\sqrt{2} }{14}$

Assim vou ter de usar um valor aproximado para o ângulo B

$\frac{3\sqrt{2} }{14} .....aproximadamente= 0,37115374...$

E o ângulo cujo seno é:

$0,37115374...$

é o ângulo 21,78 º ( aproximadamente )

Sabendo as amplitudes dos ângulos C e B posso determinar a do ângulo A.

Em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º

A = 180 - 60 - 21,78 = 98,22º

seno (98,22º) = 0,9897

Agora vou aplicar a Lei dos Senos

$\frac{x}{sen(A)} =\frac{7}{sen60}$

$\frac{x}{sen(98,22)}=\frac{7}{sen(60)}$  

$\frac{x}{0,9897}=\frac{7}{0,866}$

produto cruzado

0,866 * x = 7 * 0,9897

 

x = 6,9278 / 0,866

x= 7,99 cm   aproximadamente 8 cm

Bons estudos.

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( * )    multiplicação       ( / )  divisão

(.........) mais que três pontos seguidos serve apenas para separar palavras