Question

Determine os valores de m para que a equação 2mx² - (3m + 2)x + 3 = 0 tenha raízes reais e desiguais.
A resposta no meu gabarito diz: m ∈ R - {$\frac{2}{3}$}

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar os possíveis valores de "m" para que a equação abaixo tenha duas raízes reais e distintas:

2mx² - (3m + 2)x + 3 = 0

Veja: para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes reais e distintas, então o seu delta (b²-4ac) tem que ser MAIOR do que zero.
Note que o delta da função acima é este: [-(3m+2)]² - 4*2m*3 .
Então vamos impor que o delta acima seja MAIOR do que zero. Logo:

[-(3m+2)]² - 4*2m*3 > 0 ----- desenvolvendo, teremos:
9m²+12m+4 - 24m > 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:
9m² - 12m + 4 > 0

Agora veja: se aplicarmos Bháskara na função acima, vamos encontrar que ela terá duas raízes reais e IGUAIS. Ou seja, vamos encontrar que:

m' = m'' = 2/3

Agora note que a função dada (que queremos que seja MAIOR do que zero) terá a seguinte variação de sinais:

i) a função será igual a zero se"m" for igual à raiz, ou seja, se: m = 2/3
ii) a função será MAIOR do que zero se "m" for menor do que a raiz, ou seja, se m < 2/3
iii) a função também será MAIOR do que zero se "m" for maior do que a raiz, ou seja, se m > 2/3.
iv) Assim, resumindo, vemos que a função será MAIOR do que zero se "m" for DIFERENTE de "2/3", ou seja: se m ≠ 2/3.

Dessa forma, vamos ter que"m" poderá assumir todos os valores reais menos "2/3". Daí o fato de o gabarito da sua questão informar que o domínio da função será:

m ∈ R - {2/3}   ------- Esta é a resposta.

Note que o domínio também poderia ser apresentado do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

D = {m ∈ R | m ≠ 2/3} ------ [tradução: o domínio é o conjunto dos "m" pertencentes aos Reais, tal que "m" é diferente de "2/3]

Ou ainda, também se quiser, o domínio da função poderia ser apresentado da forma seguinte, o que significa o mesmo:

D = (-∞; 2/3) ∪ (2/3; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.