Question

Determine os valores de k≠-1 para que o trinômio (k+1)x² - 2(k-1)x + 3k - 3 seja sempre negativo.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação paramêtrica :

Para que este trinômio seja sempre negativo é necessário ∆ < 0

Ou por outra :

$\mathsf{\Delta < 0 \Rightarrow~b^2-4ac~< 0 }$

Dada a equação :

(k+1)x² - 2(k-1)x + 3k - 3 =0

Para garantir 100% que a expressão seja mesmo negativa , vamos que :

k - 1 < 0

k < 1

Sol1 : k € ] -∞ ; 1 [

$\mathsf{Coeficientes:}\begin{cases} \mathsf{a~=~k+1} \\ \\ \mathsf{b~=~-2(k-1)} \\ \\ \mathsf{c~=~3k-3} \end{cases}$

Substituindo ter-se-á :

$\mathsf{\Big(-2(k-1) \Big)^2-4.(k+1).(3k-3) < 0 }$

$\mathsf{(-2)^2(k^2-2k+1)-4(3k^2-3k+3k-3) < 0 }$

$\mathsf{4k^2-8k+4-4(3k^2-3) < 0 }$

$\mathsf{4k^2-8k+4-12k^2+12 < 0 }$

$\mathsf{\red{-8k^2-8k+16 < 0 }}$

Vamos colocar a inequação en form de equação para achar as raizes :

$\mathsf{-8k^2-8k+16~=~0 }$

$\mathsf{\Delta~=~b^2-4ac}$

$\mathsf{\Delta~=~(-8)^2-4.(-8).16 }$

$\mathsf{\Delta~=~64+512 }$

$\mathsf{\Delta~=~576 \Rightarrow ~ \sqrt{\Delta}~=~\sqrt{576}~=~24 }$

$\mathsf{k~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} }$

$\mathsf{k~=~}\begin{cases} \mathsf{k_{1}~=~\dfrac{8+24}{2.(-8)}~=~-\dfrac{32}{16}~=~-2} \\ \\ \mathsf{k_{2}~=~\dfrac{8-24}{2.(-8)}~=~\dfrac{-16}{-16}~=~1} \end{cases}$

$\mathsf{k=}\begin{cases}\mathsf{\red{k_{1}~=~-2}} \\ \\ \mathsf{\red{k_{2}~=~1}} \end{cases}$

$\mathsf{Sol2:}~\mathsf{k}\in]-\infty;-2[\mathsf{U}]1;+\infty~[$

$\mathsf{Sol_{total}~=~Sol1 \cap Sol2 }$

$\mathsf{Sol_{total}}~=~\Big( ]-\infty~;~-2[\mathsf{U}]1~;~+\infty[ \Big)\cap ]-\infty~;~1[$

$\mathsf{Sol_{total}}~=~ \mathsf{k} \in ] -\infty~;~-2[$

Espero ter ter ajudado bastante!)

Answer 2

Resposta:

k+1<0 ==k<-1      (i)

Δ<0

[- 2(k-1)]²-4* (k+1)*(3k-3)  < 0

4*(k²-2k+1 )-4*(3k²-3k+3k-3) < 0

4*(k²-2k+1 )-4*(3k²-3) < 0

4k²-8k+4-12k²+12<0

-8k²-8k+16 <0

divida tudo por -8

k²+k-2>0

k'=[-1+√(1+8)]/2  =(-1+3)/2=1

k''=[-1-√(1+8)]/2  =(-1-3)/2=-2

+++++++++++++++++++++(-2)------------------------(1)+++++++++++++++

-2 > k > 1   (ii)

(i) ∩ (ii)  =   (-∞ , -2)  é a resposta