Question

Determine os valores de A e B,de modo que a equação do 2°grau x²+ax+b=0 tenha raízes cujos resultados sejam duas unidades a menos do que as raízes da equação do 2°grau x²-2x-5=0
OBS: As raízes da equação procurada serão A-2 e B-2

Answer 1

Para resolver esse problema nós teremos primeiro que achar os valores das raízes da equação x²-2x-5=0. Resolvendo pela fórmula de Bháskara, temos:

$x^2-2x-5=0 \rightarrow \boxed{a = 1, b = -2, c = -5} \\\\ \Delta = b^2-4*a*c \\ \Delta = (-2)^2-4*1*(-5) \\ \Delta = 4+20 \\ \Delta = 24 \\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ x = \frac{2\pm \sqrt{24}}{2*1} \\ \boxed{x' = \frac{2+\sqrt{24}}{2} = \frac{2+\sqrt{2^2*6}}{2} =  \frac{2+2\sqrt{6}}{2} = \frac{2(1+\sqrt{6})}{2} = \boxed{1+\sqrt{6}}} \\ \boxed{x'' = \frac{2-\sqrt{24}}{2} = \frac{2-2\sqrt{6}}{2} = \frac{2(1-\sqrt{6})}{2} = \boxed{1-\sqrt{6}}}$

Como a questão quer que as raízes da equação x²+ax+b=0 seja duas unidades a menos que as raízes da equação x²-2x-5=0 é só subtrair 2.

Logo, o x' da equação x²+ax+b=0 será:

$x' = 1+\sqrt{6}-2 \\ x' = \sqrt{6}-1$

O x'' da equação x²+ax+b=0 será:

$x'' = 1-\sqrt{6}-2 \\ x'' = -\sqrt{6}-1$

A forma fatorada de uma equação do segundo grau é dada por:

$\boxed{(x-x_1)*(x-x_2)=0}$

Para achar o valor de A e B é só substituir os valores de x' e x'' que encontramos anteriormente.

$(x-x_1)*(x-x_2)=0 \\ (x-(\sqrt{6}-1))*(x-(-\sqrt{6}-1)=0\\ (x-\sqrt{6}+1)*(x+\sqrt{6}+1)=0$

Bom, a partir daqui nós poderíamos fazer a distributiva, mas como virou um produto notável do produto da soma pela diferença, temos que:

$\boxed{(a-b)*(a+b) = a^2-b^2}$

Aplicando isso aqui acima, temos:

$(x-\sqrt{6}+1)*(x+\sqrt{6}+1)=0 \\ (x+1-\sqrt{6})*(x+1+\sqrt{6})=0 \\ (x+1)^2-(\sqrt{6})^2=0 \\ (x+1)^2-6 = 0 \\ x^2+2x+1-6=0 \\\\ \boxed{x^2+2x-5=0}$

Sendo assim, o valor de A = 2, e B = -5.

Answer 2

Encontraremos a solução deste problema por meio de α (alfa) e β (beta):

Considerando α e β as raízes da equação x² - 2x - 5 = 0, concluímos:

α e β são raízes para → x² - 2x - 5 = 0

(α - 2) e (β - 2) são raízes para → x² + ax + b = 0

Logo, levando em contas os cálculos das Relações de Girard, onde:

α + β = -b/a

α × β = c/a

Para x² - 2x - 5 = 0:

α + β = 2

α × β = -5

E para x² + ax + b = 0:

(α - 2) + (β - 2) = (α + β) - 4 = 2 - 4 = -2

(α - 2) × (β - 2) = (α × β) - 2×(α + β) + 4 = -5 - 4 + 4 = -5

Portanto, substituindo substituindo de acordo com as Relações de Girard: (α - 2) + (β - 2) por b (na equação base onde ax² - bx + c = 0) e substituindo (α - 2) × (β - 2) por c (na mesma equação base), temos que:

x² + 2x - 5 = 0 é a equação do 2º grau que tem raízes cujos resultados sejam duas unidades a menos de x² - 2x - 5 = 0.

E finalmente, substituindo a equação x² - 2x - 5 = 0, em x² + ax + b = 0, obtemos que:

a = 2

b = -5

Espero ter ajudado, bons estudos!