Question

Determine os três (3) números da progressão geométrica sabendo que a soma dos três é 37 e o produto do mesmo é 1728.

Answer 1

Sejam $a_1, \ a_2 \ e \ a_3$ os três termos dessa PG. Pela definição podemos escrever $a_1 = \frac{a_2}{q} \ e \ a_3 = a_2.q$. Como o produto desses três termos é 1728 temos:

$a_1.a_2.a_3 = 1728 \Rightarrow \frac{a_2}{q}.a_2.a_2.q = 1728 = a_2^3 \\ \underline{a_2 = 12}$

Agora temos que encontrar os outros dois termos. Sabemos que:

$\left \{ {{a_1+a_2+a_3=37} \atop {a_1.a_2.a_3=1728}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a_1+a_3=25} \atop {a_1.a_3=144}} \right.$

Perceba que $a_1 \ e \ a_3$ são as raízes de x²-25x+144 = 0, logo teremos dois possíveis valores para $a_1$ e, consequentemente, dois possíveis valores para $a_3$. Resolvendo aquela equação encontramos que $a_1 = 9 \ ou \ a_1 = 16$. Logo temos duas possíveis PGs:

1- (9, 12, 16)
2- (16, 12, 9)

Answer 2

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Três números em P.G.:

$\frac{x}{q},x,xq$

A soma destes números é 37,   $\frac{x}{q}+x+xq=37$ (I)

E o produto é 1 728, $\frac{x}{q} .x.xq=1728$ (II)

Primeiro vamos tratar do produto destes números em P.G., assim:

$\frac{x}{q}.x.xq=1728$, eliminando q, temos que:

$x^{3}=1728$

$x= \sqrt[3]{1728}$

$x=12$

Agora vamos substituir x, na soma dos três termos em P.G. (caso II).

$\frac{12}{q}+12+q.12=37$

$\frac{12}{q}+12+12q=37$

$\frac{12}{q}+12q=37-12$

$\frac{12}{q}+12q=25$

$12+12q*q=25*q$

$12 q^{2}-25q+12=0$

Por Báskara obtemos as raízes $q'= \frac{4}{3} \left e \left q"= \frac{3}{4}$

Substituindo, no esquema montado acima, vem:

1a raiz da equação:

$P.G.( \frac{x}{q},x,xq)$

$P.G.( \frac{12}{ \frac{4}{3} },12,12* \frac{4}{3})$

$P.G.(9,12,16)$


2a raiz da equação:

$P.G.( \frac{x}{q},x,xq)$

$P.G.( \frac{12}{ \frac{3}{4} },12,12* \frac{3}{4})$

$P.G.(16,12,9)$

Ou seja, temos duas P.G.s, uma crescente e outra decrescente.