Question

Determine os seguintes limites:

Answer 1

Nesse caso, como está tendendo ao infinito, imagine que seja um número muito grande, e quando se soma um número gigante e um número muito pequeno, o grande se sobrepõe. Então você pode desconsiderar os outros termos e considerar apenas o maior expoente no númerador e denominador:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 2}{x^3 + x^2 - 1} \approx \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x}$

Agora, aplicando o limite:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\infty} = 0$

Answer 2

• O limite dado resulta em 0.

Para resolver limites de polinômios temos o "método formal" e o macete. Irei fazer pelo método formal, que consiste em pegarmos o termo de maior potência e dividirmos pelo numerador e denominador. Logo:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 +2}{x^3+x^2-1} \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^3} +\frac{2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{x^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}} \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 +2}{x^3+x^2-1} \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} +\frac{2}{x^3}}{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}} \end{aligned} }$

• Lembrando que :

$\large\displaystyle\begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 }{x^n} = 0\end{aligned}$

Continuando ...

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 +2}{x^3+x^2-1} \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} +\frac{2}{x^3}}{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}} \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 +2}{x^3+x^2-1} \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{0 +0}{1+0-0} \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 +2}{x^3+x^2-1} \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{0 }{1} \end{aligned}$

$\therefore \large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\boxed{\boxed{\green{ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 +2}{x^3+x^2-1} \Leftrightarrow 0}}} \end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Limites no infinito.

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