determine os possíveis valores reais de m para que se tenha, simultaneamente, sen (alfa)=m/2 e cos (alfa)=m-1.
Soluções para a tarefa
Olá!
Utilizaremos a equação fundamental da trigonometria para encontrar tais valores. Veja a fórmula:
sen²α + cos²α = 1
Como chegar nessa expressão?
Imagine um triângulo retângulo inscrito em um quadrante do círculo trigonométrico. A hipotenusa, em regra, será igual a 1. Já o cateto oposto e adjacente ao ângulo α equivalem, respectivamente, ao seno e cosseno desse ângulo. Substitua no teorema de Pitágoras:
b² + c² = a²
senα² + cosα² = 1²
sen²α + cos²α = 1
Sabemos que:
senα = m/2
senα = m/2cosα = m-1
Aplique na equação fundamental:
(m/2)² + (m-1)² = 1
m²/4 + (m² - m - m + 1) = 1
m²/4 + m² - 2m + 1 = 1
Observe que podemos simplificar essa expressão multiplicando-a por 4:
m²/4 + m² - 2m + 1 = 1 (x4)
4m²/4 + 4m² - 8m + 4 = 4
m² + 4m² - 8m = 0
5m² - 8m = 0
Estamos diante de uma equação do 2° grau.
Como c = 0, o delta se dará por:
Δ = b²
Δ = (-8)²
Δ = 64
Agora encontre as raízes da equação:
m = -b ± √Δ / 2.a
m = -(-8) ± √64 / 2.5
m = 8 ± 8 / 10
m' = 8 + 8 / 10 = 16/10 = 8/5 ✓
m" = 8 - 8 / 10 = 0 ✓
RESPOSTA: os valores de m que satisfazem essas condições são iguais a 0 e 8/5.
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Bons estudos! :)