Question

determine os possíveis valores reais de m para que se tenha, simultaneamente, sen (alfa)=m/2 e cos (alfa)=m-1.

Answer 1

Olá!

Utilizaremos a equação fundamental da trigonometria para encontrar tais valores. Veja a fórmula:

sen²α + cos²α = 1

Como chegar nessa expressão?

Imagine um triângulo retângulo inscrito em um quadrante do círculo trigonométrico. A hipotenusa, em regra, será igual a 1. Já o cateto oposto e adjacente ao ângulo α equivalem, respectivamente, ao seno e cosseno desse ângulo. Substitua no teorema de Pitágoras:

b² + c² = a²

senα² + cosα² = 1²

sen²α + cos²α = 1

Sabemos que:

senα = m/2

senα = m/2cosα = m-1

Aplique na equação fundamental:

(m/2)² + (m-1)² = 1

m²/4 + (m² - m - m + 1) = 1

m²/4 + m² - 2m + 1 = 1

Observe que podemos simplificar essa expressão multiplicando-a por 4:

m²/4 + m² - 2m + 1 = 1 (x4)

4m²/4 + 4m² - 8m + 4 = 4

m² + 4m² - 8m = 0

5m² - 8m = 0

Estamos diante de uma equação do 2° grau.

Como c = 0, o delta se dará por:

Δ = b²

Δ = (-8)²

Δ = 64

Agora encontre as raízes da equação:

m = -b ± √Δ / 2.a

m = -(-8) ± √64 / 2.5

m = 8 ± 8 / 10

m' = 8 + 8 / 10 = 16/10 = 8/5 ✓

m" = 8 - 8 / 10 = 0 ✓

RESPOSTA: os valores de m que satisfazem essas condições são iguais a 0 e 8/5.

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Bons estudos! :)