Question

Determine os pontos que representam os focos da elipse de equação:

Answer 1

Temos a seguinte equação elíptica:

$\sf 4x {}^{2} + 25y {}^{2} = 100$

Normalmente a equação de uma elipse não se apresenta dessa forma, portanto vamos deixá-la em sua forma reduzida, ou seja, passar o número "100" dividindo todos os membros da equação incluindo ele próprio.

$\sf \frac{4x {}^{2} }{100} + \frac{25y {}^{2} }{100} = \frac{100}{100} \\ \\ \sf \frac{x {}^{2} }{25} + \frac{y {}^{2} }{4} = 1$

Note que o maior valor está a abaixo de x², portanto essa elipse possui o seu maior eixo sobre o eixo "x", então podemos compará-la com a mesma equação em sua forma padrão para esse tipo de elipse, dada por:

$\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

Comparando:

$\begin{cases} \sf a {}^{2} = 25 \\ \sf a = \sqrt{25} \\ \sf a = 5 \end{cases} \begin{cases} \sf b {}^{2} = 4 \\ \sf b = \sqrt{4} \\ \sf b = 2 \end{cases}$

O foco de uma elipse é representado pela letra "c", portanto para encontrá-lo iremos usar a relação de Pitágoras.

$\sf a {}^{2} =b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 5 {}^{2} = {4}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 25 - 16 = c {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 9 \\ \sf c = 3$

Pela forma que a equação foi disposta podemos notar que essa elipse possui o centro na origem do plano cartesiano, logo os seus focos serão dados por:

$\sf F_1 = (-c,0) \: \: F_2=(c,0) \\ \boxed{\sf F_1 = (-3,0) F_2=(3,0)}$

Espero ter ajudado