Question

Determine os pares de valores (x,y) que são solução do sistema abaixo:
9x^2-8y^2=9
9x^2+16y^2+54x=63

Obs: os dois estão em um mesmo {

Answer 1

Ao todo temos três pares de soluções:

R: (1,0); (-3,-3) e (-3,3)

Explicação passo-a-passo:

Então temos:

$9x^2 - 8y^2 = 9$

$9x^2 + 16y^2 +54x = 63$

Primeiramente vou multiplicar os dois lados da equação de cima por 2:

$18x^2 - 16y^2 = 18$

$9x^2 + 16y^2 +54x = 63$

Agora vou somar diretamente as duas:

$18x^2 + 9x^2 - 16y^2 + 16y^2 + 54x = 18 + 63$

$27x^2 + 54x = 81$

Divindo os dois lados dessa equação por 27:

$x^2 + 2x = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Onde as Raízes desta equação são x=-3 e x=1.

Agora vamos substituir esses valores de x novamente la na primeira equação para reencontrarmos o y.

Começando substituindo x como -3:

$9(-3)^2 - 8y^2 = 9$

$9.9 - 8y^2 = 9$

$8y^2 = 72$

$y^2 = 9$

$y = +/- 3$

Assim temos o primeiros dois pares de respostas:

R: (-3,-3) e (-3,3)

Agora vamos substituir o outro valor de x (1), na mesma equação:

$9(1)^2 - 8y^2 = 9$

$9 - 8y^2 = 9$

$8y^2 = 0$

$y=0$

Assim temos mais um par de resposta:

R: (1,0)

Então ao todo temos três pares de soluções:

R: (1,0); (-3,-3) e (-3,3)