Question

determine os números complexos z tais que z²-z+1=0 a){2+2i,2-2i} b){-1+4i,-1+4i} c){1+4i,1-4i} d){-1+2i,-1-2i} e){2-2i,1+2i}

Answer 1

Vamos substituir o númro "z" por "m + ni" e vamos determinar os valores de "m" e "n" no conjunto do reais.

z² - z + 1 = 0
(m + ni)² - (m + ni) + 1 = 0
(m² + 2mni + (mi)²) - m - ni + 1 = 0
m² + 2mni - n² - m - ni + 1 = 0
(m² - n² - m + 1) + (2mn - n)i = 0

Portanto, temos que:

m² - n² - m + 1 = 0
2mn - n = 0

Pela segunda equação, temos que:

2mn - n = 0
n * (2m - 1) = 0

n = 0

ou

2m - 1 = 0
2m = 1
m = 1/2

Vamos substituir os valores de "n = 0" ou "m = 1/2" na primeira equação:

para n = 0, temos que:

m² - n² - m + 1 = 0
m² - 0² - m + 1 = 0
m² - m + 1 = 0

a = 1
b = -1
c = 1

Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4 * 1 * 1
Δ = 1 - 4
Δ = -3

Como temos que Δ < 0 não há solução para os reais. Portanto, para n = 0, não há solução para o problema.


Vamos, agora, considerar "m = 1/2". Vamos substituir "m = 1/2" na 1ª equação:

m² - n² - m + 1 = 0
(1/2)² - n² - (1/2) + 1 = 0
(1/4) - n² - (1/2) + 1 = 0
-n² + (1/4) - (2/4) + (4/4) = 0
-n² + (3/4) = 0
n² = 3/4

n' = √(3/4) = (√3)/2

n" = -√(3/4) = -(√3)/2

Portanto, temos que:

z' = m' + n'i = 1/2 + (√3)i/2

e

z'' = m'' + n''i = 1/2 - (√3)i/2

Nenhuma das alternativas apresentadas satisfaz a equação.