Question

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da fun- ção f(x) = x4 – 2x2 . Determine seus pontos críticos e classifique-os em pontos de máximo ou mínimo local.

Answer 1

Uma função é crescente nos intervalos onde a função derivada é positiva

$f~crescente~\rightarrow~ f'~\textgreater~0$

Uma função é decrescente nos intervalos onde a função derivada é negativa

$f~decrescente~\rightarrow~ f'~\textless~0$

Existe um ponto de máximo em x = a se f é crescente em x < a e decrescente em x  > a (não necessariamente para todo x. Caso isso aconteça, o ponto é máximo absoluto)

Existe um ponto de mínimo em x = b se f é decrescente em x < b e crescente em x > b (analogamente, caso f seja decrescente para todo x < b e crescente para todo x > b, existe mínimo absoluto em x = b)
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$f(x)=x^{4}-2x^{2}$

Derivando f, temos:

$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{4})-2\frac{d}{dx}(x^{2})\\\\f'(x)=4x^{3}-2\cdot2x^{2-1}\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=4x^{3}-4x=4x\cdot(x^{2}-1)}}$

Agora, precisamos estudar o sinal de f'

Para isso, precisamos do estudo de sinais de g(x) = 2x e h(x) = x² - 1

g(x) = 2x

Podemos ver facilmente que g(x) > 0 se x > 0 e g(x) < 0 se x < 0

h(x) = x² - 1

Vamos achar as raízes de h(x):

$x^{2}-1=0~~~~\therefore~~~~x^{2}=1~~~~\therefore~~~~x^{2}=1~~~~\therefore~~~~x=\pm\sqrt{1}=\pm1$

O gráfico de h(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima (h''(x) > 0 para todo x, ou a = 2 > 0). Por possuir duas raízes reais e distintas, h(x) deverá retornar valores negativos para x entre as raízes, e positivos para todo o resto

Portanto:

$h(x)\ \textgreater \ 0~~se~~x\in\{x\in\mathbb{R}/x~\textless-1~~~ou~~~x~\textgreater~1\}\\\\\\h(x)~\textless~0~~se~~x\in\{x\in\mathbb{R}/-1~\textless~x~\textless~1\}$

Agora, fazemos o produto de sinais e chegamos no estudo de sinais de f'(x)
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$\boxed{\boxed{f'(x)~\textgreater~0:~x\in\{x\in\mathbb{R}/-1~\textless~x~\textless~0~~ou~~x~\textgreater~1\}}}\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)~\textless~0:~x\in\{x\in\mathbb{R}/~x~\textless-1~~ou~~0~\textless~x~\textless~1\}}}$

Então, f é crescente nos intervalos onde f' é positiva e f é decrescente onde f' é negativa
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Candidatos a máximos e mínimos: Extremos do intervalo onde f está definida e pontos críticos (pontos onde f'(x) = 0)

A função é polinomial, logo é definida para todo x real, então não há extremos do intervalo para que possamos verificar se são máximos ou mínimos

Nos restam as raízes da derivada, que já calculamos:

$x=0~~ou~~x=\pm1$

Veja que f é crescente se - 1 < x < 0 e é decrescente se 0 < x < 1. Portanto, há ponto de máximo local em x = 0

Por outro lado, f é decrescente se x < - 1 e crescente se - 1 < x < 0. Logo, há ponto de mínimo local em x = - 1

A função é decrescente se 0 < x < 1 e crescente se x > √2 / 2. Portanto, há outro ponto de mínimo local em x = 1