Question

determine os coeficientes A,B e C do polinômio f(x) = x4+Ax3+Bx2+Cx-12, de modo que f(x) seja divisível por (x - 1)(x + 2)(x - 3)

Answer 1

Boa tarde Talnomedeu!

Solução!

Condição.


$\dfrac{f(x)}{f(x)} = \dfrac{x^{4}+Ax^{3}+B x^{2} +Cx-12}{(x-1).(x+2).(x-3)}$


Veja que o enunciado fala para determinar os valores de A,B e C então já temos certeza de que o polinomio que esta no denominador e divisor do polinômio que esta no numerador,então podemos substituir as raizes no polinômio que esta no numerador formando um sistema com três variaveis A ,B e C assim.


$(x-1)\Rightarrowx=1$


$(x+2)\Rightarrow x=2$


$(x-3)\Rightarrow x=3$


Substituindo esses valores no polinômio formamos um sistema.


$\begin{cases} (1)^{4}+A(1)^{3}+B(1)^{2}+C(1)-12=0\\\ (-2)^{4}+A(-2)^{3}+B(-2)^{2}+C(-2)-12=0\\\ (3)^{4}+A(3)^{3}+B(3)^{2}+C(3)-12=0 \end{cases}$


Agora vamos resolver as potencias.


 $\begin{cases} 1+A+B+C-12=0\\\ 16-8A+4B+-2C-12=0\\\ 81+27A+9B+3C-12=0 \end{cases}$


$\begin{cases} A+B+C=11\\\ -8A+4B-2C=-4\\\ 27A+9B+3C=-69 \end{cases}$


Antes vou dividir a linha 2 por 2 e a linha 3 por 3 para ficar mais fácil a solução.


$\begin{cases} A+B+C=11\\\ -4A+2B-C=-2\\\ 9A+3B+C=-23 \end{cases}$


Agora vou isolar o coeficiente A para encontrar B e C e em seguida substituir os valores para encontrar o valor de A.


$A=11-B-C$


$-4(11-B-C)+2B-C=-2\\~~~9(11-B-C)+3B+C=-23$


$-44+4B+C+2B-4C=-2\\~~~99-9B-9C+3B+C=-23$


$~~~6B+3C=42\\-6B-8C=-122$


$3C-8C=42-122$


$-5C=-80$


$C= \dfrac{-80}{-5}$


$C=16$


Vamos substitui na equação para achar o valor de B.


$6B+3C=42$


$6B+3(16)=42$


$6B+48=42$


$6B=42-48$


$6B=-6$


$B= \dfrac{-6}{6}$


$B=-1$


Finalmente vamos substituir em A.


$A=11-B-C$


$A=11-(-1)-16$


$A=11+1-16$


$A=12-16$


$A=-4$


$\boxed{\boxed{Resposta:Coeficientes \Rightarrow A=-4~~B=-1~~C=16 }}$


Boa tarde!
Bons estudos!