Question

Determine o volume, em litros, de uma pirâmide hexagonal regular, sabendo que sua altura mede 0,9m e que as arestas da base medem 2 √3 cm .​

Answer 1

Com os cálculos finalizados podemos afirmar que  o volume da pirâmide em litros é de  $\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_{ \sf piramide} = 0{,}54 \sqrt{3} \: litros } }$.

A Pirâmide é um poliedro convexo formado por todos os segmentos de reta, cuja é uma região poligonal e as faces laterais são regiões triangulares.

Área da superfície de uma pirâmide:

Analisando a ( figura em anexo ), temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf A_{total} = A_{base} + A_{lateral} \\ \\ \sf Ap\acute{o}tema = a = \dfrac{\ell\sqrt{3} }{2} \\ \\ \sf A_{base} = 6 \cdot \dfrac{\ell^2\sqrt{3} }{4} \\ \\ \sf A_{lateral} = \dfrac{3\ell^2\sqrt{3} }{4} \\ \\ \sf A_{total} = \ell^2 \sqrt{3} \\ \\ \sf h = \dfrac{\ell \sqrt{6} }{3} \\ \\ \sf r = \ell \end{cases} } }$

Volume de uma pirâmide:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ V_{ \sf piramide} = \dfrac{A_{\sf base} \cdot h}{3} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf V= \:?\: em~ litros \\ \sf h = 0{,}9\: m \\ \sf aresta = \ell = 2\sqrt{3 }\: cm = 2\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \: m\\ \sf 1 \: m^3 = 1\: 000\: litros \end{cases} } }$

Primeiramente devemos calcular o valor da área da base.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf base} = 6 \cdot \dfrac{\ell^2\sqrt{3} }{4} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf base} = 6 \cdot \dfrac{(2 \; \sqrt{3} \cdot 10^{-2})^2\sqrt{3} }{4} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf base} = 6 \cdot \dfrac{ \diagup\!\!\!{ 4} \cdot 3 \cdot 10^{-4} \sqrt{3} }{ \diagup\!\!\!{ 4}} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf base} = 18\;\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \: m^2 } }$

Agora determinar o valor do volume da pirâmide

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_{ \sf piramide} = \dfrac{A_{\sf base} \cdot h}{3} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_{ \sf piramide} = \dfrac{ \diagup\!\!\!{ 18}\:^6 \:\sqrt{3} \: \cdot 10^{-4}\: m^2\cdot0{,}9 \: m}{\diagup\!\!\!{ 3}\:^1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_{ \sf piramide} = 6 \: \sqrt{3} \: \cdot 10^{-4}\: m^2 \cdot 0{,}9\: m } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_{ \sf piramide} = 5{,}4 \sqrt{3} \: \cdot 10^{-4}\: m^3 } }$

Convertendo em litros, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_{ \sf piramide} = 5{,}4 \sqrt{3} \: \cdot 10^{-4} \cdot 10^3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_{ \sf piramide} = 5{,}4 \sqrt{3} \: \cdot 10^{-4+3} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_{ \sf piramide} = 5{,}4 \sqrt{3} \: \cdot 10^{- 1} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf V_{ \sf piramide} = 0{,}54 \sqrt{3} \: litros }$

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