Question

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano x+y+z=10 e acima do retângulo 1≤x≤4 e 2≤y≤5​

Answer 1

$\:\: \:\:\:\:\:\: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\large\bullet\:\: V = 36 u.v}$

Explicação

De acordo com a questão, devemos encontrar um volume de um sólido que se encontra abaixo do plano $x+y+z=10$ e acima do retângulo $R = \{(x,y)/1 \leqslant x \leqslant 4, \: - 1 \leqslant y \leqslant 1 \}$.

Para este cálculo, vamos usar a integral dupla para a resolução, sendo ela dada por:

$\: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: V=\int\int_R f(x,y) dA$

A função f(x,y) do integrando é ela quem representa as limitações das dimensões do sólido.

• Limitação Superior.

Analisando novamente o enunciado, é dito que este tal sólido se encontra abaixo do plano, ou seja, é ele quem limita superiormente. Como sabemos $f(x,y) = z$, então devemos tal variável.

$f(x,y) = z, \: mas \: z = 10 - x - y \\ \boxed{ f(x,y) = 10 - x - y}$

• Limitação Inferior.

Já em relação a parte inferior, sabemos que ele se encontra acima do retângulo que depende das variáveis x e y, isto é, se encontra sobre o plano xy, e como sabemos no plano xy o z = 0.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \begin{cases}plano \: xy \: \: \to \: \: z = 0 \\ plano \: xz \: \: \to \: \: y = 0 \\ plano \: yx \: \: \to \: \: x = 0 \end{cases}$

Então temos que a função abaixo é:

$\: \: \: \: \: \: f(x,y) = z , \: mas \: z = 0 \\ \boxed{ f(x,y) = 0 }$

Substituindo estes dados na relação da integral:

$\: V=\int\int_R f(x,y) _{sup} - f(x,y) _{inf} \: dA \\ \\ V=\int\int_R [ (10 - x - y) - (0)] \: dA$

_______________________________________

Tendo encontrado a função a qual utilizaremos para a integração, podemos partir agora para os limites a qual este sólido se estende, no sentido de variação em x e variação em y.

• Variação em x:

É perceptível que a variação é basicamente as dimensões do retângulo, uma vez que o sólido está limitado por ele, então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: 1 \leqslant x \leqslant 4$

• Variação em y:

Análogo a variação em x, já que é dada pelo retângulo do enunciado.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: 2 \leqslant y \leqslant 5$

Antes de substituir os limites de integração, vamos relembrar o que o Teorema de Fubini nos diz.

• Se a região de integração for dada por um retângulo, a ordem das diferenciais de x e y não importa.

$\boxed{\int\int_R f(x,y) dA = \int _ {a}^{b} \int_ {c}^{d} f(x,y) dxdy = \int _ {c}^{d} \int_ {a}^{b} f(x,y) dydx }$

Portanto, não devemos nos preocupar com a disposição dos limites na integral.

$V=\int_ {1}^{4}\int_ {2}^{5} (10 - x - y) \: dxdy$

Agora é só resolver cada uma das integrais de forma que quando a integral estiver com a diferencial de x, a variável y é uma constante e do mesmo jeito quando a diferencial é dy.

• Primeira integral:

$\int_ {2}^{5} (10 - x - y)dx \: \to \: \: \int_ {2}^{5}10 dx - \int_ {2}^{5}x dx - \int_ {2}^{5}ydx \\ \\ 10\int_ {2}^{5}dx - \int_ {2}^{5}x dx - y\int_ {2}^{5}dx \: \to \: \left [10x - \frac{x {}^{2} }{2} - xy \right ] \bigg | _ {2}^{5}$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\left [10.5 - \frac{5 {}^{2} }{2} - 5y \right ] - \left [10.2 - \frac{2 {}^{2} }{2} - 2y \right ] \\ \\ \left [50 - \frac{25 }{2} - 5y \right ] - \left [20 - \frac{4}{2} - 2y \right ] \\ \\ \left [ \frac{100 - 25}{2} - 5y \right ] - \left [18 - 2y\right ] \\ \\ \frac{75}{2} - 5y - 18 + 2y \\ \\ - 3y - \frac{39}{2} \: \: \to \: \: \boxed{ \frac{ - 6y +39}{2} }$

• Segunda integral:

$\int_ {1}^{4} \frac{ - 6y + 39}{ 2} dy \: \: \to \: \: \frac{1}{2} \int_ {1}^{4} ( - 6y + 39)dy \\ \\ \frac{1}{2} \int_ {1}^{4} - 6y \: dy + \frac{1}{2} \int_ {1}^{4} 39\: dy \: \: \to \: \: \left[ - \frac{3y {}^{2} }{2} + \frac{39y}{2} \right ] \bigg | _ {1}^{4}$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\left[ - \frac{3.(4) {}^{2} }{2} + \frac{39.(4)}{2} \right ] - \left[ - \frac{3.1{}^{2} }{2} + \frac{39.1}{2} \right ] \bigg | \\ \\ \left[ - \frac{48 }{2} + \frac{156}{2} \right ] - \left[ - \frac{3}{2} + \frac{39}{2} \right ] \\ \\ 54 - 18 = \boxed{ 36 \: \: u.v}$

Espero ter ajudado

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