Question

Determine o volume do sólido limitado pelos planos xy,yz,xz, e z= 6 -2x - 2y.

Answer 1

A figura está na imagem em anexo.
Para resolvermos a questão temos que inicialmente buscar uma ordem de integração e posteriormente encontrar limites que a respeite. Escolhemos a ordem dz dy dx, portanto a última integral deve ser dependente somente de x.
Para z:partindo de 0 até 6-2y
Para y:partindo de 0 até 3-x
Para x:partindo de 0 até 3.
Integrando os valores a partir dos limites, temos na seguinte forma:

$V=\int\limits^{3}_{0} { \int\limits^{(3-x)}_{0} { \int\limits^{(6-2y)}_{0} {1} \, dz } \, dy } \, dx$
Integrando a integral mais à esquerda, temos:

$\int\limits^{3}_{0} { \int\limits^{(3-x)}_{0} {(6-2y) } \, dy } \, dx$

Como a integral de (6-2y) = 6y - y² para os limites 0 e 3-x temos:

$V=\int\limits^{3}_{0} { 6(3-x) - (3-x)^{2}}\, dx$
$V=\int\limits^{3}_{0} { 18-6x - (9-6x+x^{2})}\, dx$
$V=\int\limits^{3}_{0} { (18 -6x - 9 + 6x - x^{2})}\, dx$
$V=\int\limits^{3}_{0} { (9 - x^{2})}\, dx$

A integral de 9 -x² = 9x -x²/2, logo:

$V=(9x - x^{3}/3)$ de 0 a 3

$V=(9*3 - 3^{3}/3)$

$V=(9*3 - 3^{3}/3)$
$V=18$

Portanto, o volume do sólido limitado é igual a 18 unidades de volume.