Determine o volume do sólido delimitado pelo paraboloide eliptico 16 = x^2 2y^2 z, os planos x=2 e y=2 e os planos coordenados x,y e z
Soluções para a tarefa
O volume do sólido será de 48 u.v.
Como calcular o volume através da integral?
Para determinar o volume do sólido delimitado pelo paraboloide eliptico utiliza-se a integral tripla.
Para resolver uma integral tripla, seguiremos os seguintes passos:
- Passo 1: integrar em relação a x.
- Passo 2: integrar em relação a y.
- Passo 3: integrar em relação a z.
Ao final, obteremos o resultado desejado.
Aplicando ao exercício
Temos os seguintes dados:
- 0 ≤ x ≤ 2
- 0 ≤ y ≤ 2
- z = 16 - x² - 2y²
Logo:
0 ≤ z ≤ 16 - x² - 2y²
Aplicando na integral:
2 2 16 - x² - 2y² 2 2 2 2
∫ ∫ ∫ dzdydx = ∫ ∫ [16 - x² - 2y²] dydx = ∫ [16y - x²y - 2.y³/3] dx
0 0 0 0 0 0
2 2
∫ 16.(2) - x².(2) - 2.(2)³/3 dx = ∫32 - 2x² - 16/3 dx
0 0
2
[ 32x - 2x³/3 - 8x/3] = 32.(2) - 2.(2)³ - 16.(2)/3
0
64 - 16/3 - 32/3
(192 - 16 - 32)/3 = (192-48)/3 = 48 u.v
O volume do sólido será de 48 u.v.
Entenda mais sobre Integrais Triplas aqui: https://brainly.com.br/tarefa/5777884
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