Matemática, perguntado por cb390copel, 5 meses atrás

determine o volume do sólido de revoredorlução,gerado através da rotação ao redor do eixo x ,da região limitada pela curva y=x2-3x+5 e pela reta y=2x-1

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos, acabamos de concluir que o valor do volume do sólido em revolução em torno do eixo x é igual a 13π/10 u.v (unidades de volume).

O sólido de revolução é um corpo geométrico que pode ser formado pela rotação de uma superfície plana em torno de uma linha reta chamada eixo. Um sólido de revolução é, de outra perspectiva, uma figura tridimensional que se caracteriza por sua superfície não ser plana, mas curva.

Sabemos que toda figura tridimensional tem uma forma de calcular seu volume, uma forma de calcular o volume de um sólido em revolução é usando a integral definida.

Além disso, devemos partir de algum método existente que não nos permita fazer isso, para este caso vamos nos basear no método do anel ou arruela.

Para usar este método, vamos beijar com base na fórmula:

$\displaystyle V =\pi \int ^b _ a \left[R ^2 - r^2\right]\, dx$

E também devemos considerar o valor do nosso eixo de rotação para poder usar este método. O eixo de rotação é o eixo x (ou y = 0)

Também podemos ver que o problema não nos dá nada relacionado aos intervalos em que ambas as funções são limitadas para gerar o sólido. O que temos que fazer é encontrar o valor desses intervalos, para isso podemos igualar o valor da curva com a reta.

$y = y\\\\ x^2 - 3x + 5 = 2 x - 1\\\\ x^2- 3 x + 5 - 2 x + 1 =0\\\\ x^2- 5 x +6=0$

Se calcularmos o valor de "x" nesta equação de segunda ordem, seria como encontrar o valor da interseção entre a curva e a função em relação à variável "x". Para encontrar o valor de "x" podemos usar a fórmula de Bhaskara, pois é uma equação de segunda ordem.

O método Bhaskara tem como fórmula principal a equação:

$\displaystyle x _ {1,2} = \dfrac{- b\pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a }$

Sendo a, b e c coeficientes que multiplicam uma variável sendo apenas "c" um coeficiente independente. Aplicando a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções desta equação:

$\displaystyle x _ {1,2} = \dfrac{- (-5)\pm \sqrt{-5^2 - 4 \cdot 1\cdot 6}}{2 \cdot }\\\\ x _{1,2}=\dfrac{5\pm \sqrt{25 - 24 }}{2}\\\\ x _{1,2} = \dfrac{5\pm \sqrt{1}}{2}\\\\ x _{1,2} =\dfrac{5\pm 1 }{2}$

Encontrando as duas soluções possíveis que satisfazem nossa equação:

$\displaystyle x _{1} =\dfrac{5+1}{2}~~\textsf{ou}~~x _{2}=\dfrac{5-1}{2} \\\\ x _{1}=\dfrac{6}{2}~~\textsf{ou}~~ x _{2}=\dfrac{4}{2} \\\\ x_{1}=3~~\textsf{ou} ~~ x _{2}=2$

Esses valores de "x" é o local onde o gráfico será limitado, pois já encontramos os intervalos a e b podemos encontrar o volume do nosso sólido, mas primeiro devemos levar em conta qual é o valor do maior raio "R" e o menor raio "r".

O valor de cada raio é igual à função "y". Então, levando isso em conta, o volume do nosso sólido será dado pela equação:

$\displaystyle V =\pi \int ^3 _ 2 \left[ (2 x-1)^2- (x ^2 - 3x +5) ^2\right]\, dx\\\\\displaystyle V =\pi \int ^3 _ 2 \left[4 x^2 - 4 x +1- ( x^4-6 x^3 +19 x^2 -30 x + 25)\right]\, dx\\\\ \displaystyle V =\pi \int ^3 _ 2 \left[254 x^2 +4 x -1-x^4+6 x^3 -19 x^2 +30 x -25\right]\, dx \\\\ \displaystyle V =\pi \int ^3 _ 2 \left[-x^4+6 x^3- 15 x^2+26 x -24\right]\, dx$

Calculamos o valor da integral:

$\displaystyle V =\pi \left[-\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{6x^4}{4} -5x^3 +13 x^2 -24 x\right]\bigg|^3 _2\\\\ \displaystyle V =\pi \left[\left(-\dfrac{3^5}{5} + \dfrac{6(3)^4}{4}-5(3)^3+13(3)^2-24(3)\right)- \left( -\dfrac{2^5}{5}+\dfrac{6 (2)^4}{4} -5(2)^3+13(2)^2 -24(2)\right)\right]\\\\ \displaystyle V =\pi \left[\left(-\dfrac{243}{5}+\dfrac{486}{4}-135+117-72\right)-\left(-\dfrac{32}{5}+24-40+52-48\right)\right]\\\\ \displaystyle V =\pi \left[-\dfrac{171}{10}+\dfrac{92}{5}\right]\\\\ \displaystyle V=\pi \left[\dfrac{13}{10}\right]\\\\ \sf\boxed{\boxed{\displaystyle \bf V =\dfrac{13\pi}{10}~u.v }}~\Longrightarrow ~Resposta \checkmark$