Question

Determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação em torno do
eixo x da região R especificada:
a) R é a região delimitada pelas curvas y = 9 - x² e y = 0.
b) R é a região sob a curva y =e-x ⁄ 10 de x = 0 a x = 10.
c) R é a região sob a curva y =1/√x de x = 1 a x = 3.

Answer 1

a) Os limites de integração serão -3 e 3, pois:

0 = 9 - x²
x² = 9
x = -3 ou x = 3

Portanto,

$V = \pi\int\limits^3_{-3} {(9-x^2)^2} \, dx$
$V = \pi \int\limits^3_{-3} {81-18x^2+x^4} \, dx$
$V = \pi(81x-\frac{18x^3}{3}+\frac{x^5}{5})$

Substituindo os limites de integração, encontramos como volume:

$V = \frac{1296\pi}{5}$

b) Os limites de integração são 0 e 10.

Logo, integrando

$V = \pi \int\limits^{10}_0 {(\frac{-e^{-x}}{2})^2} \, dx$
$V = \frac{\pi}{100} \int\limits^{10}_0 {e^{-2x}} \, dx$
$V = \frac{\pi}{100}(- \frac{e^{-2x}}{2}} )$

Substituindo os limites de integração:

$V = \pi(\frac{e^{20}-1}{200e^{20}})$

c) Os limites de integração serão 1 e 3.

Logo,

$V = \pi \int\limits^3_1 {(\frac{1}{\sqrt{x}})^2} \, dx$
$V = \pi \int\limits^3_1 {\frac{1}{x}} \, dx$
V = πln(x)

Substituindo os limites de integração:

V = πln(3)